2重積分の問題です。

質問

(1)の答えは1/4-2sであっていますか？
この問題でx^2+y^2＜1となっていますがx^2+y^2≦1だと答えは変わりますか？
教科書にはx^2+y^2≦1みたいな≦があるやり方しかのっていないので、よくわかりませんでした。
(2)は条件がu<1となり、よくわからなかったので教えていただけませんか？

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

続いて(ii)
>(2)は条件がu<1となり、よくわからなかったので教えていただけませんか？

x=au^(1/2)*(1-v)^(1/2), y=bu^(1/2)*v^(1/2) とおいて置換積分すると
積分領域D2は
「x^2/a^2+y^2/b^2<1」から　「u<1」
「x>0, y>0」から 「u>0, 0<v<1」
が条件から得られ、まとめると
D2　⇒　E2={(u,v)|0<u<1, 0<v<1}
ヤコビアン|J|=x_u*y_v-x_v*y_u=ab/(4(v(1-v))^(1/2))
xy/√(x^2+y^2) dxdy=a^2*b^2*u^(1/2)/(4(a^2+v(b^2-a^2))^(1/2))dudv

I2=∬[D2] xy/√(x^2+y^2) dxdy
=∬[E2] a^2*b^2*u^(1/2)/(4(a^2+v(b^2-a^2))^(1/2))dudv
=∫[0,1] dv∫[0,1] a^2*b^2*u^(1/2)/(4(a^2+v(b^2-a^2))^(1/2))du
=∫[0,1] a^2*b^2/(6(a^2+v(b^2-a^2))^(1/2))dv
=(1/3)a^2*b^2/(a+b) …(答)

お礼

uとvの範囲で悩んでいました。
おかげですっきりしました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

info222_

>(1)の答えは1/4-2sであっていますか？
間違いです。
正解は「1/(4(2-s))」です。

>この問題でx^2+y^2＜1となっていますがx^2+y^2≦1だと答えは変わりますか？
変わりません。

>教科書にはx^2+y^2≦1みたいな≦があるやり方しかのっていないので、よくわかりませんでした。
積分値が存在する場合は、＜の場合と≦の場合は同じ積分結果になるので気にする必要はありません。

とりあえず(i)だけ。

補足

計算ミスをしていたようです。
回答ありがとうございました。