二重積分について

質問

教科書にでてきた二重積分の問題がどうしても解けないので
質問させていただきます。
∫∫_D yexp(xy) dxdy D:1≦x≦2、1/x ≦y≦2
答えはe^4/2 -e^2です。

よろしくお願いします

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞∫∫_D yexp(xy) dxdy=∫[1→2]{∫[y=1/x→2]yexp(xy)dy}dx
=∫[1→2][{(1/x)ye^xy-(1/x)^2e^xy}[1/x→2]]dx
=∫[1→2][(2/x)e^2x-(1/x)^2e^2x]dx
=∫[1→2](2/x)e^2xdx-∫[1→2](1/x)^2e^2xdx
={(1/x)e^2x}[1→2]+∫[1→2](1/x)^2e^2xdx-∫[1→2](1/x)^2e^2xdx
=(1/2)e^4-e^2

回答No.1

info22_

D={(x,y)|1≦x≦2(1≦y≦2の時,1/y≦x≦2(1/2≦y≦1の時)）と書き換えられるので
Dの領域を分けて、以下の順序で逐次積分に直して積分を実行すればよいでしょう。

∫∫_D yexp(xy) dxdy
=∫[1/2,1] ydy∫[1/y,2]exp(xy)dx +∫[1,2] ydy∫[1,2] exp(x,y)dx
=∫[1/2,1] ydy [(1/y)exp(xy)][1/y,2] +∫[1,2] ydy [(1/y)exp(xy)][1,2]
=∫[1/2,1] [exp(2y)-exp(1)]dy +∫[1,2] [exp(2y)-exp(y)]dy
=[exp(2y)/2 -ey][1/2,1] +[exp(2y)/2 -exp(y)][1,2]
=(1/2)(e^2 -e)-(1/2)e + (1/2)(e^4 -e^2)-(e^2 -e)
=(1/2)e^4 -e^2