偏微分方程式

質問

偏微分方程式の問題についていくつか質問です。

(1)uxx=uyy=0を求めよ。
これをuxx=0,uyy=0としてそれぞれ
u=A(y)x+B(y)
u=C(x)y+D(x)
と解いたのですが、これで正しいですか？

(2)ux-uy=0の解を求めよ。
u=exp(αx+βy)と置いて
u=exp(α(x+y))
と解を出してみました。しかし答を見ると、
u=cexp(k(x+y))
となっていました。
ほぼ同じですが、僕が出した答でよいのでしょうか？

(3)変数変換v=x,z=x+yを用いて、uxy-uyy=0を解けとはどういうことですか？

回答No.1

e_o_m · ベストアンサー

(1)u_xx=0,u_yy=0をそれぞれxとyで2回積分したようですが、それでは答えとなっていません。
u_xx=0を2回積分したu=A(y)x+B(y)をu_yy=0に代入してA(y),B(y)を決めて下さい。

(2)exp(α(x+y))は間違いです。exp(α(x+y))だけではその定数倍の答えを表現出来ないのでその定数倍したu=cexp(k(x+y))が正しい答えとなります。

(3)変数変換をした後ではチェインルールより
(∂/∂y)u(v,z)=(∂/∂v)u(v,z)*(∂v/∂y)+(∂/∂z)u(v,z)*(∂z/∂y)
=u_z

(∂^2/∂y^2)u(v,z)=(∂/∂y)(u_z)=(∂/∂v)u_z(v,z)*(∂v/∂y)+(∂/∂z)u_z(v,z)*(∂z/∂y)
=u_zz

(∂^2/∂y∂x)u(v,z)=(∂/∂x)(u_z)=(∂/∂v)u_z(v,z)*(∂v/∂x)+(∂/∂z)u_z(v,z)*(∂z/∂x)
=u_zv+u_zz

（∂v/∂x=1,∂v/∂y=0,∂z/∂x=1,∂z/∂y=1を使っています）
となるので
u_xy-u_yy=(u_zv+u_zz)-u_zz=u_zv=0
と簡単な形に変形できますね。
この形
　u_zv=0
を利用して偏微分方程式を解けということです。

お礼

(1)の
u=A(y)x+B(y)をu_yy=0に代入してA(y),B(y)を決めて下さい。
とはどうすればよいのですか？

回答No.2

e_o_m

u=A(y)x+B(y)
をu_yy=0に代入するとは
uをyで二回偏微分するので、
u_yy=A(y)''x+B(y)''=0
任意のxで成り立つためには
A(y)''=0、B(y)''=0
となり、これは
A(y)=ay+b
B(y)=cy+d
ですね。このA(y)B(y)をu=A(y)x+B(y)にいれてやれば
u=axy+bx+cy+d　(a,b,c,d,定数)
となるわけです。

uをxとyそれぞれ二回偏微分すると0になるには、x、yの2字以上の項が出てこなければいいので、x,y,xy,定数の多項式となればよいと容易に想像できることからもこれが正しい答えであると分かりますね。

お礼

わかりました。わかりやすい回答ありがとうございます。