青チャート数Ａの問題です。

質問

青チャート数Ａの問題です。

n,kは自然数で、n≧３、k≧２を満たすものとする。いま、n角柱のn+2個の面に１からｎ+２までの番号が
書いてあるものとする。このｎ+２個の面に1面ずつ、異なるｋ色の中から1色ずつ選んでは塗っていく。このとき、どの隣り合う面の組も同一色では塗られない塗り方の数をＰkで表わす。

（１）Ｐ2とＰ3を求めよ。
（２）ｎ＝７のとき、Ｐ4を求めよ。

問題の意味が全然分かりません・・・
分かりやすく説明してくれる人お願いします。

あと解説もお願いします。

回答No.2

nag0720

問題の意味は＃１さんの回答のとおりですが、
n=7の時のP4の求め方で、最後の
「６と１で同じ色だった場合」と「６と１が違う色だった場合」の数は、計算だけでは簡単には出ないでしょうね。
ちなみに、６と書いた面までに塗る組み合わせの、３×２×２×２×２×２＝９６通りのうち、
「６と１で同じ色だった場合」は３０通り
「６と１が違う色だった場合」は６６通り
です。

別解として、
側面は、１色で４面以上塗ることはないので、３色が塗る面の数は、
３－３－１
か
３－２－２
のどちらかになります。
塗り方の数は、
３－３－１の場合は、７×２
３－２－２の場合は、７×４
あとは、それぞれに色の組み合わせの数を掛け合わせれば求める数になります。

回答No.1

Kules

まあこういうのは具体例を考えればいいわけで…と言いつつ四角柱(直方体)だと角柱感が出ないので
五角柱とします。ということは面は全部で７面です。
P2…底面同士は同じ色だろうが違う色だろうが関係ないので(絶対隣り合っていないので)とりあえず同じ色を塗るとして、側面にもう一色を塗った時点で次に塗る色がなくなってしまい、アウトです。つまり、２色で塗ることはできません。
P3…(赤、青、白とします)同じく底面を同じ色(仮に赤とします)にすると、側面が５つあるので、順に青、白、青、白、青と塗っていくと青が重なってしまいアウト。ところが六角柱だと青、白、青、白、青、白と塗ることができます。
底面を違う色に塗った場合(青と赤とします)もう白しか残っていないので塗ることはできずアウト。したがって、ｎが偶数と奇数で話が変わるということがわかります。
ついでに、ｎが偶数の時は側面を２色で塗ることができますが、奇数の時は側面を塗り分けるためには最低３色必要です。

n=7の時…ｎは奇数なので、側面を塗り分けるのに最低３色必要であることがわかります。
P4ということは４色しか使えないため、側面に３色使うには底面は同じ色にする必要があります(底面の選び方４通り)
ちなみに側面に番号が書いてあるということは回転対称(回転させて同じ色の並びになるものは同じとみなす)は考えなくてよさそうですね。底面にn+1、n+2と書いてあるならば、側面には１～nまでの数字が書かれていることになります。
１と書いた面に塗る色：底面以外の３色
２と書いた面に塗る色：底面と１の面に塗った色以外の２色
３と書いた面に塗る色：底面と２の面に塗った色以外の２色
…
６と書いた面に塗る色：底面と５の面に塗った色以外の２色
６と１で同じ色だった場合
７と書いた面に塗る色：底面と６、１の面に塗った色以外の２色
６と１が違う色だった場合
７と書いた面に塗る色：底面と６と１の面に塗った色以外の１色

以上のことを考えて掛け合わせればP4が出てくるはずです。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます