数学の問題 確率と漸化式

質問

数学の問題
片面が白色、もう片面が黒色の板が3枚ある。
さいころを振り、「1、2」がでたら左端を、「3、4」がでたら真中を、「5、6」がでたら右端をめくる。
「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が

「黒白白」「白黒白」「白白黒」、つまり黒が一枚となる確率をP(n)とする。P(2k+1) (kは自然数）を求めよ。

2k+1回は奇数回だから黒は絶対に奇数枚、よって、2k-1回後に黒が一枚の確率はP(2k-1)、黒が一枚でない確率は1-P(2k-1)

計算を省略して・・・ 漸化式を作ると
P(2k+1)=1/9P(2k-1) + 2/3
です。
ここから先の解説は
まず、P(2k-1)=a(k)とおくと、P(2k+1)=a(k+1)
よって、a(k+1)=1/9a(k)+2/3
ここからは普通に特性方程式を作って解きます。
a(k)=3/4+1/4(1/9)^k-1
しかし、a(k)はP(2k-1)だから、kの番号を1上げて、結局
P(2k+1)=3/4+1/4*(1/9)^k

なんですが、これをおき変えずにやるとやり方が分からなくなります。
まず、これは隣接二項間と考えていいんですか？
2k+1と2k-1は2離れてるのでこの時点で違和感を感じます。

P(2k+1)=1/9P(2k-1) + 2/3
特性方程式を作り、P(2k+1)-3/4=1/9｛P(2k-1)-3/4｝
数列｛P(2k+1)-3/4｝は初項P(1)-3/4=1/4、公比1/9の等比数列
よって、P(2k+1)-3/4=1/4(1/9)^2k-1
変ですよね?
(1/9)^2k-1 では答えが違っています。

何がおかしいのでしょうか?
漸化式について詳しく教えてください。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

えぇと....
数列 { P(2k+1)-3/4 } を考えたときに, 初項 P(1)-3/4 から P(2k+1)-3/4 までで項の数はいくつ?

あと, 適宜かっこを使ってほしい. 1/4(1/9)^2k-1 はどう解釈していいのかわからん.

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

P(2k+1)-3/4=1/4(1/9)^2k-1
にするところがおかしい. 1/9 の肩に, なんで 2k が出てくる?

補足

等比数列a(n)に関して「公比を何乗するか」は、初項a、公比rとすると、a(n)=ar^n-1
です。nを一つ下げています。
同様に、p(2k+1)だからkを一つ下げて2(k-1)+1=2k-1
かと思ったんです。

間違っているのは確かなんですが
何か勘違いをしているのか、数列を分かっていないのか・・・

何が違うのかが分かりません。