数学の問題を大至急お願いします！

質問

大学の数学の問題です！

不定積分 ∫1/(x-a)^2(x-b)^3dx

よろしくお願いします！

回答No.2

spring135

＞1/(x-a)^2(x-b)^3

このような書き方は分子、分母がはっきりしないため答えないことにしていますがウォーム・アップのため

1/[(x-a)^2(x-b)^3]の場合についてやってみます。今後厳に注意してください。

u=x-bとおく。dx=du

(x-a)^2(x-b)^3=u^3(u+b-a)^2

c=a-bとおく。

(x-a)^2(x-b)^3=u^3(u-c)^2

∫1/[(x-a)^2(x-b)^3]dx=∫du/u^3(u-c)^2

この問題は後は部分分数展開ができればよい。

内容は高校1年並み。こんな問題を大学でやりたくない。

F=1/u^3(u-c)^2=(pu^2+qu+r)/u^3-(su+t)/(u-c)^2とおく。

右辺を展開した結果が左辺になるように係数p,q,r,s,tを決めればよい。

(pu^2+qu+r)*(u-c)^2-(su+t)u^3=1

p=s

q-2cp=t

pc=2q

qc=2r

rc^2=1

これらより

p=4/c^4

q=2/c^3

r=1/c^2

s=4/c^4

t=-6/c^3

F=1/u^3(u-c)^2=[(4u^2+2cu+c^2)/u^3-(4u-6c)/(u-c)^2]/c^4

4u-6c=4(u-c)-2c

F=[(4/u+2c/u^2+c^2/u^3-4/(u-c)+2c/(u-c)^2]/c^4

u>0, u>cの場合について積分する。

∫1/(x-a)^2(x-b)^3dx＝4log(u)-2c/u-c^2/(2u^2)-4log(u-c)-2c/(u-c)＋C

u,cをx,a,bに戻しておくこと。Cは積分定数

回答No.1

noname#199771

aやbが何なのか何も書かれてません
ので場合わけが必要です。

どれが分母でどれが分子かわかり
ません。{1/(x-a)^2}(x-b)^3の意味
なのか1/{(x-a)^2}(x-b)^3}の意味なの
かによってやり方が違います。

部分分数展開するといいことあるかも。

いずれにしろ問題文に不明点が多い
ので詳細は省略します。