電磁誘導についての質問です。

質問

円状の導体閉回路における電磁誘導について、悩んでいます。お知恵をお貸しください。

閉回路を貫く磁束が一定の割合で変化しているとし、もし閉回路の抵抗が一様であれば、閉回路の微小長さにおける誘導起電力と電圧降下が相殺して、導体のどの地点においても電位は一定であると思います。

一方、例えば閉回路のうち半分の円弧では単位長さあたりの抵抗がρ１、残りの半円ではρ２というように、抵抗の分布が一様でない場合は、閉回路上に電位差が発生するのでしょうか？

というのも、誘導電流による一方の半円での電圧降下と、もう一方の半円では異なると思います。これに対し、誘導起電力は抵抗とは関係なく閉回路の各部分において発生していそうですから、一方の半円と、もう一方の半円では同じだけの誘導電圧が発生しそうです。結局電圧降下の差だけアンバランスが発生し、閉回路内で電位差が発生すると考えました。

以上のように書いてみたものの、どこか間違っていそうな気もするのですが、どなたか適切な解釈を教えていただけば幸いです。

回答No.3

veryyoung · ベストアンサー

半円状ρ１、ρ２ の二つの接合点間に電圧計の測定リードを差し渡しに繋ぎます。測定リードを ρ１側円弧に沿わせた場合とρ2側円弧に沿わせた場合では、測定電圧が異なり、その絶対値比は、ρ１：ρ２です。直径方向に測定リードを這わせれば、また異なる電圧が測定されます。位置を加減すれば電圧は零にもなるでしょう。

No.2 の方もおっしゃるように、磁界が変動する場では電位（ポテンシャル）は定義できません。 電圧は経路依存になってしまいます。ごく近傍二点の電位差なら一意と見なせるでしょうが、離れた二点に掛かる電圧という事になると、たとえ理論上でも、そこまでのリード線の引き回しを指定しないわけにはいきません。測定される電圧はリード線の幾何構造に依存します。

添付図のように抵抗体環（青線）があるとしましょう。簡単の為、磁界は正弦波状とし、磁束密度 B、周波数ω、鎖交面積 S、一周合計抵抗 R とします。起電力は Vo = j w B S で、電流は、
I = Vo / ( R + j ω L ) 　となる筈です（ここで L：ループの自己インダクタンス）。おそらく題意は
R >> ω L の場合でしょう。ならば、簡単に、
I = Vo / R　で、環の開放電圧を単に一周抵抗で除したものが電流です。さて、電圧計にもたらされるのは、電流が抵抗の両端に発生させる「回路論的ポテンシャル」電圧と交番磁束が測定リードのループに発生させる「誘導」電圧の和です。

例 V1：
V1 = I R1 - j w B S1
もし抵抗体に隙間無く測定リードを沿わせ、S1=零、つまり測定ループの鎖交磁束を零にすれば、
V1 = I R1 = Vo R1 / R です。

例 V2：
V2 = I R2 - j w B S2 = Vo R2 / R - Vo S2 / S
もし、R2 / R = S2 / S ならば、V2は零になると予想されます。

例 V3：
零オーム抵抗の両端を S4=S のループ面積で測定しているという見方と、一周抵抗 R の両端を S3=零で測定しているという見方ができます。前者は抵抗体環と無関係に、リード線のみでS のループ起電圧を検出している事に等しく、V3 は環の開放電圧 Vo そのもです。後者は、一周抵抗の両端電圧 I R のみを検出している事になり、これも開放電圧そのものです。矛盾はありません。

No.1 様へのお礼欄で、誘導電界と導体の分極による（静）電界の均衡について触れていらっしゃいますが、導体の端部に電荷が誘導されるのは、暗黙に静電容量優位な構造が仮定されているからでしょう。そんな時には、おっしゃるとおり、交流の時々刻々で、誘導電界を静電界で相殺するような電荷分布が作り出され、導体内の合成電界が零に平衡しています。また、電流（電荷の移動量）は静電容量に由来します。ところが本件の場合、抵抗内の合成電界を零にするような均衡はありません。また均衡の主役は、電流による抵抗の電圧降下と解釈されます。つまり暗黙に R << ( 1 / (ωC) ) の仮定が盛り込まれています。電荷分布は均一（分極なし）と考えて良いと思います。

不可解な点などありましたらご指摘ください。

お礼

veryyoungさん、こんにちは。測定回路の引き回しが与える影響について、大変重要なご指摘をいただいたと思います。今回の質問をしたきっかけとなった案件は、まさしく例：V1に相当するようなケースです。解釈としては、測定リードとR1で発生する誘導電圧が等しく、相殺すると考えてもよさそうですね。いただいたアドバイスをもとに考察を進めていきたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

たとえば、紙面の下から上への磁界が増加すると考えます。

すると、時計回りの電流i=σE が流れます。つまり、Eがあると
いうことは、等電位ではありません。等電位なら電流は流れません。

発生した逆起電力を打消すように電流が流れるわけではありません。
磁界の増加に逆らう方向に起電力（電流）が発生するのです。

当然、この場合は、rot E≠0 なので電位という考えはできません。

お礼

endlessriverさん、ありがとうございました。
私の言葉の選び方が適切でなかったと思います。円を１周したときにキルヒホッフの定理から、円の各部分にたつ電位の和は０になると思われますが、円弧の途中の部分ではいったいどうなっているのだろうか？という質問をしたつもりでした。
至らない質問をしてしまい、ご容赦ください。

回答No.1

Nebusoku3

ご質問の内容から、家庭受電部の電力計に使われる円盤の　渦電流　をイメージしましたが、もしそうであれば、
１）閉回路の抵抗が一様の場合　⇒　その通りと思います。
２）閉回路のうち半分の円弧では単位長さあたりの抵抗がρ１、残りの半円ではρ２というように、抵抗の分布が一様でない場合　⇒　その通りで、閉回路上に電位差が発生すると思います。

ご存知のように電圧、電流、抵抗　の関係は　 E = I * R　閉回路ですので電流は同じで、抵抗値が異なる為　（ρは抵抗率として使うのでは？）　ここでは　R1　R2としておきましょう。
（体積低効率としてのρ１、ρ２　はOKと思います。）
E1 = I * R1
E2 = I * R2
のように閉回路内では異なった抵抗値の為に起電力は同じでも電位の差が生じます。

つまり
＞誘導起電力は抵抗とは関係なく閉回路の各部分において発生していそう。。。　と言うのは正しくて、閉回路内の起電力（あるいは電圧）の総和　E　は
E = E 1 + E2 = I (R1 + R2)　の関係が、その不ぞろいの抵抗値の部分に発生していると思えばいいと思います。

お礼

Nebusoku3さん、ありがとうございました。
上記のようにシンプルに考えればよいのかもしれませんね。
砂川重信先生の「電磁気学演習」の中に円が一端で途切れている場合についての説明があり、その場合は、全円周で電界を積分してえられる電位差が、磁束変化とほぼ等しくなり、その電位差の由来は途切れている導体の端部に電荷が充電され、誘導で発生する起電力と釣り合うからだ、と説明されています。
このイメージから、抵抗が不均一な場合にも不連続点において電荷が分布する、ということになるのかな？と物理的なイメージで悩んでしまいました。実際には誘導電流が流れているわけですから、局所的な電荷分布というのはなくても差し支えないのかもしれませんね。