ε-δ論法で証明しようとする命題が逆にみえます・・

質問

たとえばε-δ論法で　x＾2→4　（x→2）
を証明しようとすると（おおまかに）、０＜｜ｘ＾２ー４｜＜ε　となるようなどんな正のε
をとっても、０＜｜ｘ－２｜＜δとなるようなδが存在しますよ。って言ってるんですよね。
これってどんなにｘ＾２を４に近づけてもxは２に近づきますよ。っていってませんか？
これでは証明したい事柄の逆ですよね。

回答No.1

notnot · ベストアンサー

＞これってどんなにｘ＾２を４に近づけてもxは２に近づきますよ。っていってませんか？

言ってません。

どんなにx^2を4に近づけろと言われても、それに十分なようにxを2に近づけることが出来る

ということを言ってます。

もうすこしわかりやすい例で言うと、1/x → ∞ ( x → 0 )
「どんなに大きな数を言われても、1/xがそれを越えるようにxを決めることが出来る(0に十分近づければ)」
ということはわかりますでしょうか？

補足

あ、そうか。そういうことを言っているのですね。

わかりやすい方の例も回答でおっしゃっていることはわかります。

でもそうすると
A:x＾２を４に近づけろ！
B：わかったわかった。ならｘを２に近づけてやればいいんだろ？ほら。
という風に見えます・・・
そうするとやっぱり
ｘ＾２→４⇒ｘ→２
にみえます・・・

回答No.3

notnot

そういうことです。

お礼

ありがとうございました！！！

回答No.2

notnot

＞B：わかったわかった。ならｘを２に近づけてやればいいんだろ？ほら。

ここから、なぜ、

＞ｘ＾２→４⇒ｘ→２

と思うようになるのか理解できません。

最初の一歩から勘違いされているのでは？

「x → a のとき、f(x) が b に収束する」とは、「f(x)をどれだけbに近づけろと言われても、それに応じてxをaに近づければ、f(x)がbの言われた範囲に収まる」ということと同じ意味なのですが。
それがあなたの直感に合わないと言うことだと、繰り返し繰り返し教科書を読むくらいでしょうか。
あるいはあきらめるか。

補足

もしかしてこれは、
B：わかったわかった。ならｘを２に近づけてやればいいんだろ？ほら。

ほらな、ｘを2に近づければ（⇒）ｘ＾２は４の近くに収まったじゃないか。
つまりδをつかって十分にｘを２に近づければｘ＾（⇒）ｘ＾２は４に近づくんだよ。
ってこういうことでしょうか！？