曲線の長さを証明するときに使える論法(定理？)を自分で考えてみました。

質問

曲線の長さを証明するときに使える論法(定理？)を自分で考えてみました。
⊿xを十分に小さい正の値とし、f(x)は[x,x＋⊿x]で連続かつ(x-2⊿x,x＋2⊿x)で微分可能とする。

今そのようなf(x)が任意に与えられたとして
(f(x＋⊿x)-f(x))/⊿x＝f'(x＋Θ⊿x)となる0≦Θ≦1がある。

{(f(x＋⊿x)-f(x))^2＋(⊿x)^2}^(1/2)=L

2{f(x＋Θ⊿x)-(f(x)＋Θ⊿xf'(x＋Θ⊿x))}=M とおく。

このとき[x,x＋⊿x]におけるf(x)の曲線の長さをNとおくと
L≦N<M＋L は成り立つ。

確認ですが合ってますよね？　　

ちなみに、実はこれ曲線の長さを証明するときに使える。普通はLを足し合わせて考えれば
なんとなく曲線の長さに近づくで終わるが、今の場合だと同じ方法で
積分の定義を利用して「はさみうちの原理」を使えば曲線の長さがうまく示せると自分で
考えた。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

いいねえ。
そういう食い下がりかたは、大切だと思う。

Θ が存在することは、平均値定理だから ok。

L≦N≦L+M には、少し疑問がある。
この式に現れる N の定義は、何か？
曲線 (x, f(x)) の長さだというのなら、
「曲線の長さ」の定義は、何か？
その定義に基づいて、不等式を
証明することができているだろうか。
その部分が、一番肝心なところだが、
質問文では、省略されている。

お礼

今学校から帰ってきた所なので返事が遅くなって申し訳ないですが、自分でも"定義"というものが
抜けているなと思いました(この回答読む前に)。やっぱり定義は？という肝心な回答が返ってくるのが
予想しました。回答ありがとうございます。
質問したL,Nに対してL≦Nを定義にするとかいろいろと考えてみたのですが、うまくいかずどうやっても曲線の長さが定義してないと証明はできないことに気付きました。
だからLを十分小さくとってそれをf(x)にそって無限に足し合わせたものが曲線の長さと定義するざえおえないと分かりました。ここで質問する際にはもっと注意深く抜けてないかどうか確かめたうえで質問するべきでありました。ご指摘参考になりました。