数学の積分の問題について途中式と解答お願いします

質問

数学の積分の問題について途中式と解答お願いします

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

x(logx)^nをxで微分すると
{x(logx)^n}'=(logx)^n+n*(logx)^(n-1)
両辺をxで積分すると
∫{x(logx)^n}'dx=∫(logx)^ndx+n*∫(logx)^(n-1)dx
∫{x(logx)^n}'dx=x(logx)^nだから
x(logx)^n=∫(logx)^ndx+n*∫(logx)^(n-1)dx
=In+n*In-1
よってIn=x(logx)^n-n*In-1

回答No.2

ereserve67

部分積分でということで

n≧1として，

I_n=∫(logx)^ndx
=∫(x)'(logx)^ndx=x(logx)^n-∫x{(logx)^n}'dx
=x(logx)^n-∫xn(logx)^{n-1}(logx)'dx
=x(logx)^n-n∫x(logx)^{n-1}(1/x)dx
=x(logx)^n-n∫(logx)^{n-1}dx
=x(logx)^n-nI_{n-1}

すなわち

I_n=x(logx)^n-nI_{n-1} (n≧1)