C1級関数の一様連続性の証明

質問

C1級関数 f は、任意の閉区間 I = [a,b]で一様連続であることを、平均値の定理を使って示しなさい。（閉区間 I = [a,b]で連続な関数はIで一様連続である、という定理は使わずに）

という問題です。答えを参考にしながら考えていきたいので、是非お力添えお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

連続関数に関する最大値・最小値の定理は使っていいんでしょうか？

それなら要は x,y ∈I, x<yについて平均値の定理からあるc∈(x,y)があって
f(y) - f(x) = f'(c)(y-x)となるが、
今f'(x)がI上連続 （∵fはC1級）だからf'(c)の大きさを評価できて（最大値・最小値の定理）、

（要は閉区間上のC1級の関数はLipschitz連続であって：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
）

そこからfがI上一様連続である事が従います。

一度考えてみて、分からない事があれば質問してください。