微分方程式

質問

微分方程式の問題です。
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=x
の解き方がわかりません。教えてほしいです。

また、参考になるホームページもあれば教えてほしいです。

回答No.3

kiyos06 · ベストアンサー

>y=x^n zと解の形をおくことがどうしてできるのでしょうか？
1)線形の微分方程式では、y =e^f(x) zがベース
1.1)参考URLを参照
2) (1)ではfがlog等になりそうな時は、y =x^n z
2.1)微分項の前にx^mの多項式等があれば、これが多い。(慣れれば、だいたい当たる)
3)その他
3.1)y =f(x) z
3.2)y =z^n
3.3)y =f(z)
3.4)x =t^n
3.5)x =f(t)
3.6)x =e^f(t)
3.7)y =(dz/dx)/z
3.8)y =dx/dt

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10128835700

回答No.2

spring135

y/x=uすなわちy=uxとおく。

y'=u'x+u

y''=u''x+2u'

x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0に代入して整理すると

u''-u'=0

p=u'と置くと

dp/dx=p

dp/p=dx

log(p)=x+c

p=e^(x+c)=ae^x

u=∫ae^xdx+b=ae^x+b

y=xu=axe^x+bx

後半の問題も同様にy=xuと置換して

x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=xに代入して整理すると

u''-u'=1/x^2

p=u'とおくと

P'-p=1/x^2

一般に

y'+P(x)y=Q(x)の解は

y=(∫Q(x)exp(∫P(x)dx)+c)exp(-∫P(x)dx)

これを用いるとP(x)=-1, Q(x)=1/x^2

∫P(x)dx=-xなので

p=(∫exp(-x)/x^2dx+c)exp(x)

=[exp(-x)(-1/x)-∫exp(-x)/xdx+c]exp(x)

=[-exp(-x)/x-Ei(-x)+c]exp(x)

Ei(x)=∫[exp(-x)/x]dxは積分指数関数という非初等関数、これ以上追及しない。

uはpを積分したものでy=xu

∫

補足

y=uxとおくことができる理由がわかりません。
解の形があらかじめy=uxとなることが予測できるのでしょうか？

回答No.1

kiyos06

0)x^2 d^2y/dx^2 -x(x +2)dy/dx +(x +2)y =f(x)
1)y =x^n zとする。
1.1)x^(n+2) d^2z/dx^2 +2nx^(n+1) dz/dx +n(n -1)x^n z
-(x +2)( x^(n+1) dz/dx +nx^n z )
+(x +2)x^n z =f(x)
2)n(n -1) =0, -n +1 =0となるnはあるか。n =1
2.1)x^3 d^2z/dx^2 +(2x^2 -(x +2)x^2)dz/dx =f(x)
3)dz/dx =wとする。
3.1)dw/dx -w =x^(-3) f(x)
4)w =e^(ax) vとする。
4.1)e^(ax) dv/dx +ae^(ax) v -e^(ax) v =x^(-3) f(x)
5)a -1 =0となるaを選ぶ。a =1
5.1)e^x dv/dx =x^(-3) f(x)
6)v = ∫ e^(-x) x^(-3) f(x) dx
7)y =x ∫ e^x ∫ e^(-x) x^(-3) f(x) dx dx

10)Others
参考URL内で"d^2"を検索する。

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n263098

補足

y=x^nzと解の形をおくことがどうしてできるのでしょうか？教えてほしいです。