数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

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自然数nに対して、正の整数ａn,ｂnを(3+√2)^n=ａn+ｂn√2によって定める。
(1)ａ1,ｂ1とａ2,ｂ2を求めよ。
(2)ａn+1,ｂn+1をａn,ｂnを用いて表せ。
(3)nが奇数のとき、ａn,ｂnはともに奇数であって、
　 nが偶数のとき、ａnは奇数で、ｂnは偶数であることを数学的帰納法によって示せ。

解答
(1)ａ1=3，ｂ1=1，ａ2=11，ｂ2=6
(2)ａn+1=3ａn+2ｂn，ｂn+1=ａn+3ｂn
(3)(1)ｋａｒａ，n=1,2のとき命題は成り立つ。
　 n=2k-1,2kのとき　ａ2k-1=2h-1，ｂ2k-1=2i-1，ａ2k=2j-1，ｂ2k=2l
(h,i,j,lは自然数)であるとして、
　 ａ2k+1，ｂ2k+1，ａ2(k+1)，ｂ2(k+1)の偶数を調べる。

数学的帰納法の箇所を詳しく、
解説していただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

自然数nに対して、正の整数ａn,ｂnを(3+√2)^n=ａn+ｂn√2によって定める。
＞(1)ａ1,ｂ1とａ2,ｂ2を求めよ。
3+√2=ａ1+ｂ1√2　より、両辺を比較すると、ａ1＝３，ｂ1＝１
(3+√2)^2=ａ2+ｂ2√2
左辺＝９＋６√2＋２＝１１＋６√2　右辺と比較すると、ａ2＝１１，ｂ2＝６

>(2)ａn+1,ｂn+1をａn,ｂnを用いて表せ。
(3+√2)^(n+1)=ａn+1+ｂn+1√2　……（１）
(3+√2)(3+√2)^n=(3+√2)(ａn+ｂn√2n)
　　　　　　　　=３ａn＋２ｂn＋（ａn＋３ｂn）√2　……（２）
（１）（２）の右辺同士を比較すると、
ａn+1=3ａn+2ｂn，ｂn+1=ａn+3ｂn

>(3)nが奇数のとき、ａn,ｂnはともに奇数であって、
　 nが偶数のとき、ａnは奇数で、ｂnは偶数であることを数学的帰納法によって示せ。
ｎ＝１のとき、（１）から、ａ1＝３，ｂ1＝１よりともに奇数
ｎ＝２のとき、（１）から、ａ2＝１１は奇数，ｂ2＝６は偶数
よって、ｎ＝１，２のとき命題は成り立つ。
ｎ＝２ｋ－１のとき、ａ2k-1＝２ｈ－１，ｂ2k-1＝２ｉ－１
ｎ＝２ｋのとき、　　ａ2k＝２ｊ－１，ｂ2k＝２ｌ（ｈ，ｉ，ｊ，ｌは自然数）
が成り立つと仮定すると、
ｎ＝２ｋ＋１のとき、
ａ2k+1＝ａ2(k+1)-1＝２（ｈ＋１）－１＝２ｈ＋１より、奇数
ｂ2k+1＝ｂ2(k+1)-1＝２（ｉ＋１）－１＝２ｉ＋１より、奇数
ｎ＝２（ｋ＋１）のとき、
ａ2(k+1)＝２（ｊ＋１）－１＝２ｊ＋１より、奇数
ｂ2(k+1)＝２（ｌ＋１）より、偶数
よって、ｎ＝２ｋ＋１，２（ｋ＋１）のときも命題は成り立つ。
従って、すべての自然数ｎについて命題が成り立つ。

何かあったらお願いします。

お礼

分かりやすい解答を
本当にありがとうございます！

とても助かりました。
もう一度、自分でやってみます。