常微分方程式の問題です

質問

常微分方程式の問題です。　初期条件 x = 1のとき u = 1 ｛1 - (x - 1)*u｝du/dx = u
を　x = 1を中心とするべき級数による解法で解け。　という問題なのですがまったくわかりません。　御回答よろしくおねがいします。

回答No.1

ninoue · ベストアンサー

先ず簡単化のため変数をxからt　(t=x-1)に変換して考えます。
初期条件 t=0　のとき　u=1, 求める式は次のように書き換えられます。

1. (1-tu)du/dt = u;

t=0 の時
1*du/dt = u =1; du/dt =1;

解がべき級数関数で近似され、次のようになったと仮定します。

2.　u = 1 +t +at^2 +bt^3;

2式を1式に代入してtのべき乗項の係数が出来るだけ高次の項まで一致するようにa,bの値を決定します。

tの4次ないしそれ以上の項まで一致させる事は無理なので3次の項迄で止めています。

3. (1-t*(1+t+at^2+bt^3))*(1+2at+3bt~2) = (1+t+at^2+bt^3);

3式をtの0,1,2次の各項が一致するようにa,bを決定します。
3式にtの3次以上の項も現れますが、それらの項は無視して計算します。
3次以上の項はずっと小さく無視できる筈でしょう。

そうすると　a=-1, b=2/3 となるようですので確認して下さい。
(験算はしていません)

最終結果:

4.　u = 1 +t -t^2 +2t^3/3

4式をxのべき級数として求めるためには、t=x-1 を4式に代入してxの式として求めます。

お礼

とても早い回答ありがとうございました。