数列、高校数学

質問

(問題）
c(1)=1,c(2)=1/2,c(n)={2c(n+1)c(n-1)}/{c(n+1)+c(n-1)}(1)とする。

（問題集の記述）
(1)の両辺の逆数をとるため、c(n)≠０を確認したい。
c(n+1)とすると、ｃ（n)=0であるから、
ｎ≧３のとき、c(n)=0とすると、
c(n-1)=c(n-2)=,,,=c(2)=0これは、c(2)=1/2と矛盾。
よって、全てのｎについてc(n)≠０
(疑問）
c(n-1)=c(n-2)=,,,=c(2)=0を導いているところはc(n)=0のｎに各々代入して導くのはダメだそうなのですが、（(1)の漸化式を利用して導くべき）どうしてですか？
（例）代入して導く方法：ｃ（ｎ）＝０について、ｎ＝ｎ－１としてｃ（ｎ－１）＝０のようにして導くこと。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

質問文の場合に「すべての n について c(n) = 0」といっていますか? それがありえないことは理解できますよね.

ということは, その「問題集の記述」も
・(1) の両辺の逆数をとるため「任意の n に対して」c(n)≠0 を確認したい
だし, それを否定するため
・「ある n に対して」c(n+1)=0 とすると
と読まなきゃならないことはわかるはず.

さて, あなたの「代入して導く方法」は正しいですか?

お礼

ありがとうございました

補足

質問文の場合というのは
（例題）a(1) = 4, a(n+1) = a(n)-1.
このとき a(n) = 0 なら a(n-1) = 0 ですか?
において、「a(n) = 0 」のときというのを、当たり前ですが、ある自然数ｎについてa(n)=0のとき、と読むべき、ということでしょうか？
また、ある自然数ｎについてa(n)=0のとき、ｎ＝ｎ－１を代入するのはおかしい
ｎ－１は１，２，３、、、、と自然数を表し、ある自然数について成り立つものに代入するのはおかしいというのはわかります。

また、本問、ｃ（n)
についても
(1) の両辺の逆数をとるため「任意の n に対して」c(n)≠0 を確認したい

→ それを否定するため「ある n に対して」c(n+1)=0 とするとと読まなきゃならない
→ある自然数ｎに対してｃ（ｎ＋１）＝０のとき、ですから漸化式を利用して漸次的にc(2)=0へとつないでゆかなければならないということでしょうか？

回答No.3

Tacosan

ん～じゃあ次の数列 {a(n)} を考えてみようか:
a(1) = 4, a(n+1) = a(n)-1.
このとき a(n) = 0 なら a(n-1) = 0 ですか?

お礼

お礼の欄に追加の疑問を書くことをお許しください。
(例）本問とは別の数列a(n)=2n-1（ｎ＝１，２，３、、、、、）を考えるとき、
n=2n-1とすると、a(2n-1)=4n-3(n=1,2,3,,,,)という元の数列の奇数項のみを選んだ数列が得られる。
このような事が出来るのはｎ（自然数）に２ｎ－１（奇数）が含まれるから、元の数列に代入しても成り立つ。
上の例題についてa(n)=0のとき、ｎ（１，２，３、、、）にｎ－１（２，３，４、、、）が含まれるから
、a(n-1)=0(n≧２）
といえるのではないのでしょうか？

補足

ごめんなさい。私の実力不足のせいで、わかりません。
自分のわかる範囲で自分の考えを書きます。
（例）a(1) = 4, a(n+1) = a(n)-1.（ｎ＝１，２，３、、、）

（※a(n)=0というのはすべてのｎについてa(n)=0ということですが、a(1)=4があるのでa(n)=0にはならないとおもうのですが、そういう意味ではないのでしょうか？）

★それとも、本問のようにこの例も考えるとき、
(1)私の「代入する方法」では
a(n)=0と仮定すると、ですが、
(2)元の漸化式において
もとの漸化式でｎ＝n-1とすると、a(n)=a(n-1)-1（ｎ≧２）ですが、a(n-1)=a(n)+1で、a(n)＝０ですから、
a(n-1)=1となるので、私の「代入する方法」は誤りといえます。
（疑問）
なぜこのように、代入する方法では正しいように思える漸化式がでてきて、元の漸化式では誤りということが起こるのでしょうか?

回答No.2

Tacosan

むしろどうして「ｃ（ｎ）＝０について、ｎ＝ｎ－１としてｃ（ｎ－１）＝０のようにして導くこと」ができると思ったのかを知りたい.

お礼

×選て、んだ○選んだ

補足

(例）本問とは別の数列a(n)=2n-1（ｎ＝１，２，３、、、、、）を考えるとき、
n=2n-1とすると、a(2n-1)=4n-3(n=1,2,3,,,,)という元の数列の奇数項のみを選て、んだ数列が得られます。
これと同じ要領で、ｃ（ｎ）＝０という一般項に対し、ｎ＝ｎ－１として、ｃ（ｎ－１）＝０が得られると思ったからです。

回答No.1

asuncion

＞c(n+1)とすると、ｃ（n)=0であるから、

ここが、何を言いたいのかよくわからないです。

お礼

ｃ（ｎ＋１）＝０とすると、ｃ（ｎ）＝０であるからです。ごめんなさい