ベルヌーイ数

質問

『
ベルヌーイ数B_i(i=1,2,...)は次式で定義される
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ...)^(-1) = 1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
ここで、zは複素数である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)B_1とB_2を求めよ。
(2)上式の左辺は次のように書きかえられる事を示せ。
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! +...)^1 = z/(e^z - 1)
(3)次のような関係式が成り立つ事を示せ。
z cot z = iz + 1 + B_1(2iz) + B_2(2iz)^2/2! + ...
(4)z/(e^z - 1) + z/2はzに関する偶関数である事を示せ。さらに、この結果を利用して、
B_2k+1 = 0, k = 1,2,...
を示せ。
』

という問題です。

(1)については自分なりに考えてみました。
a_n = 1/(n+1)!, b_n = B_n/n! (n≧0)、但しb_0=1
と置くと
(lim(n→∞)Σ(k=0～n)a_k z^k)^(-1) = lim(n→∞)Σ(j=0～n)b_j z^j　だから
lim(n→∞)Σ(k=0～n)Σ(j=0～n)a_k b_j z^(j+k)) = 1　　←こうしちゃっていいのか自信が無いのですが。。。
これが恒等式となるためには左辺のzの1次以上の項の係数が0である必要がある。よって
B_1についてはk+j=1の係数を見て
a_1b_0 + a_0b_1 = 1/2! + B_1 = 0　　∴B_1 = -1/2
B_2についてはk+j=2の係数を見て
a_2b_0 + 2a_1b_1 + a_0b_2 = 1/3! + 2*1/2!*B_1 + B_2/2! = 0　　∴B_2 = 4/3
と考えたのですがこれで正しいのでしょうか？
(2)以降については手の付け所が分からないのでさっぱりです。

よろしくお願いします。

回答No.7

stomachman · ベストアンサー

(1) f(z)=1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ...
とすると
(2) 1/f(z)=1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
と定義されてる訳ですね。で、両辺を微分すると
(3) d(1/f(z))/dz= B_1 + B_2z/1! + B_3z^2/2! +...
という等式が成り立つ。(3)の左辺は
(4) d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
ここに
(5) f'(z)=df/dz = 1/2! + 2z/3! + 3z^2/4! + ...
ですね。また
(6) q(z)＝(1/2! + z/3! + z^2/4! + ...)
とおくと
(7) f(z)=1+z q(z)
と書けますから
(8) f(z)^2=(1+z q(z))^2=1+2zq(z)+(zq(z))^2
従って、(4)に(5)と(8)を代入すると
(9) d(1/f(z))/dz=-(1/2! + 2z/3! + 3z/4! + ...)/[1+2zq(z)+(zq(z))^2]
これが左辺です。改めて(3)を書き直すと
(10) -(1/2! + 2z/3! + 3z/4! + ...)/[1+2zq(z)+(zq(z))^2]=B_1 + B_2z/1! + B_3z^2/2! +...
ここでz=0を代入してやりますとzの入っている項はみんな消えちゃうので、
(11) -(1/2!)/[1]=B_1
ゆえに
(12) B_1=-1/2
となります。

同様に、(3)をもう一回微分すると
(13) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]= B_2 + B_3z/1! +...
ですから、具体的に左辺を求めて、両辺にz=0を代入してやれば B_2が出てくる訳です。どうせ消えちゃうzの高次の項は"..."と書いとけば十分ですが、まじめにやりたければ(6),(7)式のようにして扱えば良いのです。
(14) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]= -d(f'(z)/(f(z)^2))/dz = [2(f'(z)^2)-f(z)f''(z)]/(f(z)^3)
ここに
(15) f''(z)=2/3! + 6z/4! + ...=1/3+z/4+..
ですから
(16) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]=[2(1/2!+ 2z/3!...)^2-(1 + z/2! +..)(1/3+z/4+..)]/(1+z q(z))^3
z=0にすれば
(17) [1/2-1/3]=1/6
となります。ですから
B_2=1/6
が得られました。

計算間違いはいつもの事ですからチェック宜しく。

お礼

そのまんま微分してやればと言うのは、母関数を経由しないで最初の定義をそのまんまという事だったんですね。
詳しく書いていただけたおかげで良く分かりました。

１点だけ。
> (6) q(z)＝(1/2! + z/3! + z^2/4! + ...)
とおいた所はおかなくても
d/dx 1/f(z) = -f'(z)/f(z)^2 = B1 + 2B2 z/2! + 3B3 z^2/3! + ...
なので
> (5) f'(z)=df/dz = 1/2! + 2z/3! + 3z^2/4! + ...
より両辺にz=0を入れれば
B1= -f'(0)/f(0)^2 = -1/2
と出来て手間が少ないと思うのですが。

あとはとても分かり易く丁寧に説明して頂けて本当に助かりました。
> 計算間違いはいつもの事ですからチェック宜しく。
チェックＯＫでしたよ。

ありがとうございました。

回答No.6

stomachman

ホントだ。z/(e^z - 1) の一階微分でz=0にしたら0/0になっちゃいますね。失礼失礼。
この場合、定義の式の左辺をそのまんま微分してやれば宜しいでしょう。
d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
においてz=0にすれば-1/2という答が得られます。

一般に、収束性については、様子が見えてくるまでは後回しにするのが良さそうですね。

補足

物分りが悪くてすみません。３点分かりません。

１点目、
d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
=(e^z - 1 -ze^z)/(e^z - 1)^2
となったのですが、ここでもz=0を代入すると0/0となります。
色々式変形を試してみたのですがlim(z→0)f(z) = 1の時のように上手く行きません。
-1/2が出てくるまでの過程を教えてください。

２点目、
d(1/f(z))/dzが分かると何が分かるのですか？
d(1/f(z))/dz = 1/(d(f(z))/dz)が成り立つって訳でもないですよね。
どうB1に結びつくのか教えてください。

３点目、
B2についてはどうやるんですか？
d(1/f'(x))/dz = -f''(z)/(f'(z)^2)
とかを使うのですか？（これは上の２点が分かれば分かるのかな？）

何分物分りが悪いもので、出来れば出来るだけ詳しく、途中の式の変遷なども省略せずに
ご教授頂けると助かります。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。

回答No.5

shushou

shushou です。

zを実数として考えるなら訂正することはないのですが、
設問にzは複素数とあるので
z/(e^z-1)　は実数関数ではなく複素関数とみるのが自然ですね。
そうすると問題が起こってきます。
すべてのｚで収束する、と書きましたが
e^z-1=0　をみたすzはz=0だけでなく
ほかにも z=±2nπ (n=1,2,3,...)
と無限個あります。
z=0ではz/(e^z-1)　は収束しますが
z=±2nπ (n=1,2,3,...)ではz/(e^z-1)　は収束しません。
だから|z|<2π　の範囲で考えると都合がよいのです。
設問に|z|<2π　が明記されていないのはちょっと不親切ですね。

複素関数論の勉強がまだでしたら、今はそんなに気にする必要は
ないと思いますよ。

お礼

なるほど、そう言う事でしたか。

そうか、『複素関数論』ってのもやんなきゃなんだな。それが分かった事も大収穫です。

ありがとうございました。

補足

zの収束の話しに納得して肝心のテイラー展開の事を忘れていました。

> テイラー展開すると考えるとよいと思います。

というのはB1, B2を求める時に使えると言う事ですよね？
だとすると下のほうでstomachmanさんがおっしゃってる
> １階微分してz=0を代入すれば
と同じ事だと思うのですが、stomachmanへの回答に対する補足でも言いましたように、
単純に1階微分してz=0を代入すると0/0になっちゃうんです。

f(z) = z/(e^z - 1)
として、z→0でf(x)→1なのでf(0)=1と定義する事が出来るのと同じように
f'(z) = (e^z - 1 - ze^z)/(e^z - 1)^2
も、上手く変数を変換する事でf'(x)→-1/2
とする事が出来るのでしょうか？出来たとしてその極限値をB1だと言い切っちゃっていいものでしょうか？

同じ事をf''(x)に対してもやるのかと思うと気が遠くなってしまうのですが。

回答No.4

shushou

すみません。下の回答訂正します。
z/(e^z-1)を|z|<2π においてテイラー展開すると考えると
よいと思います。

補足

え！？何が訂正ポイントなんですか？
下の説明で納得してしまったので気になってしまいます。

それと、テイラー展開はまだ勉強中で良く分かっていないのでもう少し詳しく教えていただけると助かります。
つまり何故|z|<2π なのか、それをする事で何が分かるのか、その辺りを。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。

回答No.3

shushou

(1)はtaropoo さんのやり方であっていますよ。
収束うんぬんですが、設問に
ベルヌーイ数B_i(i=1,2,...)は次式で定義される
とあるので、収束とかはとりあえず不問にして、
定義されるとすればB_iはいくつになるのか、を
考えればよいのです。
(2)ですべてのzで収束することが明かされるので
taropoo さんの心配は杞憂ですね。
また(2)を見れば
>Σ(k=0～n)a_k z^k→0
となるようなz(<∞)は存在しないことが分かりますね。

お礼

> 2)ですべてのzで収束することが明かされるので
> taropoo さんの心配は杞憂ですね。
これには納得です。
やはり順番としては(2)を先に解いて、全てのz(<∞)について収束する事を示して(1)に取りかかるのが気持ちが良さそうですね。

回答No.2

stomachman

ベルヌーイ数については過去にも質問があります。検索してみてください。
(1) はおいといて、
(2)はごりごりと言うほどのものでもないでしょう。左辺をf(z) としましょう。
e^z = 1 + z/1! + z^2/2! + z^3/3! + ...
は分かりますよね。するてえと、
(e^z)/z=1/z + 1+ z/2! + z^2/3! + ...
です。つまり
(e^z-1)/z=1+ z/2! + z^2/3! + ...
左辺はその逆数ですから、
f(z) = z/(e^z-1)
こういうのを母関数(bokansuu)と呼びます。１階微分してz=0を代入すればB_1, 一般にN階微分してz=0にすればB_Nが得られます。これで(1)が解決。
(3)右辺をg(z)とします。
f(z) =(1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +... )
を使ってg(z)を表すと
g(z)=f(2iz)+iz
です。(2)を使って
g(z)=iz(2/(e^(2iz)-1)+1)=iz(e^(2iz)+1))/(e^(2iz)-1)
さてと、
e^(2iz) = (e^(iz))^2 = (cos z + i sin z)^2
1=(cos z)^2 + (sin z)^2
ですから、
e^(2iz)+1=2(cos z)(cos z+ isin z)
e^(2iz)-1=(-i)2(sin z)(cos z+ isin z)
を使って... あとはできますよね。
(4) ここまで手駒が揃っていれば、「z/(e^z - 1) + z/2はzに関する偶関数」というのはご自分で頑張って貰いましょう。
f(z) +z/2=1 + (B_1+1/2)z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
がzに関する偶関数だから、zの奇数乗の項は全部係数が０で無くてはならない。

補足

> １階微分してz=0を代入すればB_1
1階微分してz=0を代入すると0/0になりますよ。

計算ミスは置いておいて僕の解法は正しいんでしょうか？
(lim(n→∞)Σ(k=0～n)a_k z^k)^(-1) = lim(n→∞)Σ(j=0～n)b_j z^j　…(a)
だから
lim(n→∞)Σ(k=0～n)Σ(j=0～n)a_k b_j z^(j+k)) = 1　…(b)
としちゃってますが、例えば
Σ(k=0～n)a_k z^k→0, Σ(j=0～n)b_j z^j→+∞　(n→∞)
だとすると式(a)は成り立っても必ずしも式(b)が成り立つとは限りませんよね？
(a)が成立している時点で任意のzについて式(a)は収束すると捉えていいのでしょうか？

他の点に関しては全てクリアになりました。残すは(1)のみです。
設問がベルヌーイ数の知識を要求していないので、あくまで設問内での定義でお願いします。
（過去のログは拝見させていただきました。）

回答No.1

nagata

(2)e^zのマクローリン展開を使ってz/e^z-1をゴリゴリ変形して行けば良いはず。
(3)やはりcotのマクローリン展開をつかってゴリゴリ式変形で良いはず。
e^ix=cos(x)+i*sin(x)とかも使うかも。

もしダメだったらごめんなさい。僕も良く分かっていないので。

お礼

ありがとうございました。