対数vsべき乗

質問

(1)
lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0　（kは任意の自然数)
の証明に関して本に、
　　　　e=(1+h) (h>0)
だから
　　　　e^n = Σ(j=0~n) nCj h^j > nC(k+1) h^(k+1)　　　　…(i)
従ってうんぬんと書いてあったのですが、(i)の不等号が何故成り立つのか分かりません。
kに対しあるn0があってn>n0に関して(i)が成り立つという事を省略して書いているのかなと想像してるのですが
そこで止まってしまっています。
(i)の不等号が成り立つ所以を教えてください。

(2)
lim(n→∞) n^2/a^n
この極限値およびその導き方を教えてください。
（ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな？）

(3)
lim(n→∞) a^n/n!
これに関しては全く糸口が見えません。

以上３題、よろしくお願いします。

回答No.3

shushou · ベストアンサー

こんばんは。

(1)について
これは明らかですよ。
e=(1+h)^n
=nC0+nC1×h+nC2×h^2+........+nCn×h^n
>nC(k+1)×h^(k+1)　　　　　(0<k+1<n)
ですよね。ｋは任意の自然数ですから問題は
k+1<n　がいえるのか
ということですが、最終的にnは∞にもっていくのですから
最初からnはめちゃめちゃ大きい数だとしておいてかまいませんよね。
だからk+1よりも大きいnをもってきて(i)の不等式などを
議論すればよいのです。
分かりましたでしょうか。
念のため、lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0　の証明もかきます。
(i)の不等式の逆数をとって両辺にn^kをかけます。すると
n^k e^(-n) ＜n^k/(nC(k+1)×h^(k+1))
右辺の分子はnのk次式、分母はnのk+1次式ですから
nを∞にもっていくと右辺は0に行きますね。
左辺は当然0より大きいのでハサミウチでＯＫです。

(ii)について
＞ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな？
その通りです。(1)のeが自然対数の底にみえて分かりづらいですが
eに関しては
＞e=(1+h) (h>0)
という条件しかないのですから
１より大きい全ての数eに対して(1)は成り立ちます。
よって、
a>1　のとき　lim(n→∞) n^2/a^n =0
また、0<a<1のときはa^nは0に向かうので、明らかにlim(n→∞) n^2/a^n =∞
ですね。

(3)はquotaniさんの通りです。

お礼

どうも。いつもお世話になります。

実はその後自力で分かったんですよ。(i)の成り立つ訳。
でも理解するまでにかなり苦労しました。それをあっさり明らかと言いきっちゃうshushouさん、すごいっす。

これからもよろしくお願いします。

回答No.2

quotani

ついでに(2)も
こいつにはa>1って条件がほしい。
ロピタルの定理（分母分子をそれぞれ微分しても極限値は等しい)を使います。
lim(n→∞) n^2/a^n
=lim(n→∞) 2n/(a^n*loga)
=lim(n→∞) 2/(a^n*(loga)^2)
=0
当然aが負の数だと対数が定義できないし0<a<1だとわけがわからなくなるので
a>1っていう条件がほしいんです。

お礼

残念ながらロピタルの定理はまだやってないんですよ。
使えば解ける事を頭に入れておこうと思います。

a<0だと嫌ですけど0<a<1なら∞に発散で別に問題ないんじゃないですかね？
分子は小さくなるし分母は大きくなるから。

ともあれご回答ありがとうございました。

回答No.1

quotani

とりあえず（３）について（他のはネットで見ると何がなんだかわからないから）。
このときa>0ですよねぇ？そうじゃなかったらすんまへん。

lim(n→∞) a^n/n!

N>2aかつN<nなるNを仮定します。
これのｎまでの和を求めると
(a/1)*(a/2)*(a/3)*....*(a/N)*(a/(N+1))*......*(a/n)
<(a^N/N!)*(a/N)^(n-N)
<(a^N/N!)*(1/2)^(n-N)--------(イ）
ここで(イ)のｎを無限大にする
lim (a^N/N!)*(1/2)^(n-N)
n→∞　　　　　　　　　 ∵ｎ→∞の時(1/2)^(n-N)→0
=0
(イ)が０に収束しました。
a^n/n!　<　(a^N/N!)*(1/2)^(n-N）
かつ左辺は正の数なので
lim(n→∞) a^n/n! = 0
以上

お礼

良く分かりました。
ありがとうございました。