指数法則の証明

質問

指数法則e^(z_1)・e^(z_2)=e^(z_1+z_2)を
{(z_1)^n/n!}+{(z_1)^(n-1)/(n-1)!}{(z_2)/1!}+…+{(z_2)^n/n!}=(1/n!){(z_1)+(z_2)}^n
が成り立つことを利用して証明する。

解答では、
e^(z_1)・e^(z_2)
={Σ[k=0,∞]((z_1)^k)/k!})={Σ[l=0,∞]((z_2)^l)/l!}
=Σ[n=0,∞]{Σ[j=0,n]{(z_1)^(n-j)/(n-j)!}{(z_2)^j/j!}
=Σ[n=0,∞]{(1/n!)Σ[j=0,n](n)(j){(z_1)^(n-j)}{(z_2)^j}
=Σ[n=0,∞](1/n!){(z_1)+(z_2)}^n
=e^{(z_1)+(z_2)}

（4行目の(n)(j)は縦に書かれています。分かりにくくてすみません。）
解答の2行目はe^zの展開式なのは分かるのですが、2行目から3行目、3行目から4行目がどうして、こういう変形になるのか、分からず困っています。
ご教授お願い致します。

回答No.1

rabbit_cat

見にくくてよくわからんけど、

＞2行目から3行目
j=l, n=k+j と置き替えて、和の順番を入れ替えた

＞3行目から4行目
(n)(j) = nCj = n!/{j! * (n-j)!}
を使って変形

てことです。