rの二乗の誤差

質問

Δ(r)^2とΔ(r^2)の誤差は違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません。
ちなみにrの精度は0.0002(m)です
やり方の分かる方お願いします

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

ご質問の趣旨が今一つ不明確です。

（Ａ）「r を計測した場合の誤差」と、「そのr を使って計算した r^2 の誤差」のことを指していますか？

（Ｂ）Δ(r)は、各々の測定値の「計測した r と平均値との偏差」（Ｎ個存在）ですか？　それとも計測値の集団の標準偏差（Ｎ個のデータを処理した結果の１個）ですか？

（Ｃ）「Δ(r)^2とΔ(r^2)の誤差」とは、この個々のデータの偏差あるいは全体の標準偏差の誤差（つまりは「誤差の誤差」）のことを指していますか？

　ここでは、（Ａ）と考えて回答します。つまり、「rの誤差と、r^2の誤差は違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」に対して回答します。

　通常、n個の計測値から「分散」やその平方根である「標準偏差」を求めた場合、

　　　　分散　＝　（１／n）Σ［（計測値ｉ）－（平均値）］^2
　　　　　　　　　（Σは、i=1～nの合計）

　　　　標準偏差　＝　√（分散）

となります。ここでは、rの計測値を、r1、r2、・・・、rn とします。

（１）r1～rnの平均値は

　　　　rbar　＝　（１／n）Σ（ri）　（Σは、i=1～nの合計）　　　（＊１）

となりますので、計測値 r の分散は

　　　　分散　＝　（１／n）Σ［ri－rbar］^2　　　　　　　（＊２）

となります。

　「精度」といった場合、通常は「標準偏差」を意味すると思いますので、（＊２）の平方根をとった「標準偏差」（＝σ）が「精度」ということかと思います。
　正規分布の場合、標準偏差（１σ）内に含まれる確率は68％、２σの範囲に含まれる確率は95％、３σの範囲に含まれる確率は99.7％になります。「精度」が２σ、３σを指すこともありますので、定義には要注意です。

　ご質問のように、「ちなみにrの精度は0.0002(m)です」といわれても、もともとのrの標準値がどの程度で、どのような計測方法・計測誤差で何回測定してそうなったのか、というようなことが分からないと、何とも言えません。

（２）次に、r1～rn各々の二乗値を考えると、その平均値は

　　　　r2bar　＝　（１／n）Σ（ri）^2　　　　（＊３）

となります。これは明らかに（＊１）とは異なります。従って、計算値 r^2 の分散は

　　　　分散　＝　（１／n）Σ［ri^2－r2bar］^2　　　　（＊４）

となり、（＊２）とは異なった値となります。

　従って、（＊２）の平方根である「r1、r2、・・・、rnの標準偏差」と、（＊４）の平方根である「r1^2、r2^2、・・・、rn^2の標準偏差」とは異なります。

　あるいは、ひょっとして、（２）は「各々のrの二乗値」ではなく、n個の計測値に対する「二乗平均平方根」（RMS：Root Mean Square）のことをおっしゃっていますか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9

　この場合は、

　　　　RMS =　√［（１／n）Σ（ri）^2 ］　　　　　　　　　　（＊５）

ですので、これを二乗したものは、

　　　　RMS^2 =　（１／n）Σ（ri）^2 　　　　　　（＊６）

となり、（＊２）で平均値　rbar = 0 としたときに一致します。

　RMS を計算する元の値が、ri そのものではなく、標準値rnomとの偏差Δri であれば、Δri のRMSは

　　　　RMS^2 ＝　（１／n）Σ（Δri）^2
　　　　　　　　＝　　（１／n）Σ［ri －rnom］^2　　　　　　（＊７）
　　　　　　　　≒　（１／n）Σ［ri －rbar］^2

となり、（＊２）とほぼ等しくなります。
　計測値から計算した平均値rbarは、母集団の標準値rnomとは厳密には一致しませんが、計測値の測定回数nを大きくすれば、両者はほぼ等しいとみなせます。ご質問の「違うと言われていますが」とはこのことでしょうか。

　後半は、勝手にご質問を勝手に「rの標準偏差と、rのＲＭＳは違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」と解釈しての回答です。

　いずれの場合も、「定義・本来の意味に立ち返って確認しましょう」ということです。

お礼

とても役に立ちました。
今回の場合(2)の場合だったのですが、とても分かり易い回答で助かりました
ありがとうございました

回答No.1

hitokotonusi

同じでしょ。(Δr)^2とΔ(r^2)なら違いますが。

補足

出来れば求め方の方も教えていただけると嬉しいです