空間上の複数の点から球の中心を求めるときの誤差

質問

空間上の複数の点から球の中心を求めるとき、ｒが既知のとき、
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
から変数が３つあるので、３点以上あれば、a,b,cが求まるのかなと思うのですが、計測誤差はどう考えればよいのでしょうか？

感覚的に、x,y,zの計測点が近ければ球の中心からの立体角が小さいので誤差が乗りやすく、しかも推定した中心位置がオフセットしやすく、離れていれば誤差が小さい気がするのですが、この式を見ていてもピンと来ません。計測誤差は同じなのでしょうか？
その場合はｒを大きくしても同じなのでしょうか？

最終的な目的は１点の計測精度はあがらないので、多点計測で計測精度を良くしたいのですが、理論式で傾向をつかみたいと思ったのですが・・・。

どなたかわかる方が居ましたらご教授願えないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.3

boobee0125

別の観点からのコメントです。

１）結果オーライで精度を上げたいだけなら「正n面体の頂点のような配置のできるだけ多数の測定データから」中心点を求めれば良いでしょう。半径は小さい方が良さそうです。誤差はおそらく計測点数の平方根に反比例して小さくなると思います。

２）計測法の最適性をお客さんに説明する場合や、計測時間と精度のトレードオフが問題になる場合は理論的でなくとも何らかの方法で最適性が示されれば良いわけですね。その場合なら例えばエクセルなどで誤差を含むデータを生成して、計測点の配置で精度がどう変化するかをシミュレーションで調べることも可能だと思います。

３）学術的な意味で最適性を理論的に追求したい場合は、最小自乗法のデータリッチネスについて調べる必要がありそうですね。この問題は最終的には評価関数の未知パラメータによる偏微分行列（ヤコビアン）の行列式が最大になるような計測点配置を求める問題になると思いますが、しかしこれは学問的には「労多くして益少なし」的な研究になるかもしれません。

蛇足ながら多点計測データから中心点を求めるにはエクセルのソルバーが使えますが、装置に組み込む場合や高速計算が必要な場合などはニュートン法などの最適化プログラムを使う必要がありますね。

お礼

最初は計測法の妥当性を検証したかったのですが、式が単純だから、だんだん理論的にどうなんだろうって思い始め・・・。

回答ありがとうございました。

回答No.2

fusem23

＞計測点はどこでも計測精度は変わらないのかなと感じます。

そうではありません。
理論式を離れて、幾何で考えてみます。

２点が測定済みと仮定し、その２点が重なる方向から眺めてみましょう。
３点目は２点の周りを回転すると考えます。
その場合、計算される中心位置も２点の周りを回転します。
２点からの３点目の見かけの角度の誤差は、中心位置の角度の誤差と同じであり、２点と３点目の見かけの距離が近ければ、計測誤差が角度の大きな誤差となります。つまりは、中心位置の誤差も大きくなります。

だからといって、離れれば良いというものでもありません。
対極の位置を測定しても誤差は大きくなると思います。
つるつるのボールをつかむ時、そういう持ち方をしても持てませんから。

勘で言えば、１２０度位が最適だと思います。（根拠薄弱）

お礼

僕も正三角錐の中心点からの中心軸の関係が一番精度良く求まると思ったのですが、良くわからず、で、何か角度の入った別の式で求めるのかなあと思い、あれこれ考えてみたのですが、結局結論出ず。

回答ありがとうございました。

回答No.1

fusem23

計算が苦手なので、考え方だけですが…

a=f(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3)
b=g(...)
c=h(...)
の形で求め、x1などで偏微分すれば、測定誤差による変数への影響度が分かります。
中心点ということなので、次の値も意味があります。
(∂f/∂x1)^2+(∂g/∂x1)^2+(∂h/∂x1)^2
これらの値が少なくなる条件を求めれば、結果の誤差は少なくなります。

お礼

そう考えると、球の面を決めるための計測点はどこでも計測精度は変わらないのかなと感じます。
回答ありがとうございました。