誤差を考慮した最小二乗法とは？

2010/04/21 16:04

このQ&Aのポイント

誤差を考慮した最小二乗法とは、実験やデータ解析において誤差（標準偏差）を考慮しながら一次関数の最小二乗法を用いて計算する方法です。
一次関数の最小二乗法では、データ点と一次関数の距離の二乗和を最小化することで、最適な一次関数を求めます。誤差を考慮しない場合、データ点からの距離に基づいて最小化しますが、誤差を考慮することで、データ点のばらつきを反映した最適な一次関数を求めることができます。
具体的には、最小二乗法で計算した一次関数のグラフに誤差棒として標準偏差を描画することがあります。これにより、一次関数の予測値のばらつきの範囲を可視化することができます。

shilra
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物理学
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hitokotonusi
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2010/04/21 17:28 回答No.2

普通は質問文に上げてあるサイトや、Wikipediaの最初のほうに書いてあるように、最小二乗法は、残差二乗和を最小にするように係数を決める方法だと書いてあります。しかしこれは、標準偏差がσすべて同じ場合に限られます。各測定点でばらつきが異なりそれが既知である場合には、xとyに y=f(x; a, b, ...) というモデルを採用した場合には残差二乗値 E(a,b,...) = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)])^2 ではなく、χ二乗値と呼ばれる χ^2 = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)]/σi)^2 を最小にします。モデルが一次式ならば y = ax +b なので χ^2 = Σi ([yi-axi-b]/σi)^2 です。したがって、 E(a,b) = Σi ([yi- axi - b])^2 をスタートにする代わりに χ^2 = Σi ([yi-axi-b]/σi)^2 から初めて、質問文にあるサイト http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2007/5E_comp_app/interpolation/interpolation_html/node4.html に書いてあることと、全く同じように求めていけばいいです。課題ということですので、以下、ご自身で行ってください。

質問者