平面の方程式の決定

質問

法線ベクトルの絡む問題の理解ができず困っています。
分数表示があるので、HTMLでは見づらいと思い、添付ファイルのほうに問題と解答を載せています。

そもそもベクトル方程式自体の理解があまりできていないのですが、解答にある通り、「直線mの方向ベクトル→u=(2,3,4)は…」とありますが、この法線ベクトルの求め方がわかりません。
→uが平面βの法線ベクトルになっているということはわかるのですが、なぜ→uの成分までわかるのでしょうか。
基礎的な問題ですが、解説お願いいたします。

回答No.2

High_Score

(x+1)/2=(y-1)/3=(z-1)/4=t　とおき変形すると
x=2t-1
y=3t+1
z=4t+1
直線mの媒介変数表示といいます。この式をよく見ると
「tが1増えるとxは２増える、ｙは3増える、zは4増える」
空間座標での動きを想像して下さい。この動きは直線ｍ上で動きます。これすなわち方向ベクトルが(2,3,4)だと言ってますよね？また他回答で比の話がありますが、例えばtは任意なので100Tを代入してみると
x=200T-1
y=300T+1
z=400T+1

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。

ずっと分数表示のままだったので式の意味が汲み取れずにいましたが、バロメータで表示することですっきりと見やすくなりますね。
比でとらえるということの意味がわかりました。

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

方向ベクトルにしろ法線ベクトルにしろ本当に大事なのは成分の値そのものではなく成分の比. だから今の場合 2:3:4 という比を保存していれば実際の成分の値は (2, 3, 4) でも (210. 315, 420) でも構わない (けど普通は公約数を持たないようにする).

と書いておくけど, 質問の文章はいろいろ混乱してるよ. 例えば
「直線mの方向ベクトル→u=(2,3,4)は…」とありますが、この法線ベクトルの求め方がわかりません
のところ, 「」内は「方向ベクトル」なのにその次では「この＊法線＊ベクトル」になってる. そのあとの
→uが平面βの法線ベクトルになっているということはわかるのですが
も本来は逆 (「→uが平面βの法線ベクトル」というと, 「平面β」が先にあってそこから法線ベクトルを導くように見える) だよね.

補足

ご指摘ありがとうございます。
指摘いただいた箇所は投稿後すぐに気付きました。
方向ベクトルと書いておくべき場所を打ち間違えていたようです。
混乱させてしまい、申し訳ありません。

「→uが平面βの法線ベクトルになっている」というフレーズはもとの問題集の注釈から引用したものです。

いずれにせよ、成分ではなく比が本質であるということですね。
今後注意して解いていきます。

ありがとうございました。