極限

質問

lim(n→∞）a^n/n！　　（a>0)

これが分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

Segenswind · ベストアンサー

0 ＜ a ＜ 1 の時は明らかに lim(a^n/n!) = 0 ですので、実際に考えるべきは a ≧ 1 の時ということになります。

まず、

　　A(n) = a^n/n!

としたとき、隣り合う2つの項、A(n+1) と A(n) の比を考えますと、

　　A(n+1)/A(n)
　= {a^(n+1)/(n+1)!}/A(n)
　= {(a^n)a/n!(n+1)}/A(n)
　= {(a^n)/n!}{a/(n+1)}/A(n)
　= {A(n)}{a/(n+1)}/A(n)
　= a/(n+1)

となります。
ここから、

　　A(n+1) = A(n)×{a/(n+1)}

という漸化式が得られます。
従って、n→∞ の時、a/(n+1) がどのように変化していくかに注目すれば良いということになります。

回答No.1

alice_44

(a^n)/n! = (a/1)(a/2)(a/3)…(a/n) ですが、
右辺の積を、1 より大きい項の積と
1 より小さい項の積に、分けて考えれば
よいと思います。
n が十分大きいとき、a<m<n となる
自然数 m が在りますが、
(a^n)/n! ≦ {(a^m)/m!}・(a/m)^(n-m)
であり、この式で n→∞ を考えればよいです。