累乗の和

質問

Σ【n=∞~0】 ｎ(5/6)^n　の計算をどのように解くのでしょうか？

Σ【n=∞~0】はｎが0~∞までの足し合わせを表したつもりです。

公式等があれば教えてください。
また、公式がまとまっているようなサイトがあれば、そちらも教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

Tacosan

それはちょいとかいかぶりすぎ＞#3. まあ「単に答えて終わり」よりは頭使うんだけど, うまくいかず「無関係な与太話」になることも多々ある.

ちなみに, 他にも
・微分してみる
・確率論の知識から直感
とかありますな. 後者だと, この和の 1/6 は
確率 1/6 で成功するときの, 「連続して失敗する回数」の期待値
だったりする. で, 「確率 1/6 で成功する」ってことは「およそ 6回に 1回成功する」ってことだから
「連続して失敗する回数」はだいたい 5回くらいかな
って思えるわけだ.

お礼

解答ありがとうございます。

確率論でも解けるのですね！
たしかに、期待値の求め方と同じになっています。
様々な方法を教えてくださりありがとうございます。

後、Σ【n=∞~0】 ｎ^2・(5/6)^n
など、ｎに累乗をがついたとき、上の方法を二回行ったら解けたのですが、このやり方で大丈夫でしょうか？

回答No.3

funoe

数学の力をつける（＝将来の＊＊試験の際、自力で解けるようになる）ために
必要かつ的確なアドバイスが寄せられているのに気付いていないのでしょうね。、

素直な普通の良い子なら、
「自分の質問に対し、いきなり無関係な世間話をしているわけがない」
→
「それを思い出せばなんらかのヒントになるはずだ」
→
「よし、等比級数の公式をどう作ったか調べてみよう」
→
「おぉ、この問題の解き方もわかったぞ」

となって、この質問の回答も思いつき、そして、いずれかの試験（入学試験とか)の際、自力でこの問題が解けるようになるんです。

ヒネた子や天邪鬼の子、あるいは素直すぎて天然な子は、質問に対しシンプルな回答
「覚えていません」
と答えて、それ以上の発展がないんです。

そんな子たちは、ここ（↓）に書いてあるガイドをなぞって、わかったような気になって、実際には身についていないから
試験の時には答えられない・・、なぁんてことにならないよう祈っています。

.Σ【n=∞~0】 ｎ(5/6)^n　＝　Ｓ　と置く
Ｓ=1*(5/6)+2*(5/6)^2+3*(5/6)^3+4*(5/6)^4+・・・・・
ここで、Ｓを5/6倍する。
(5/6)*Ｓ＝1*(5/6)^2+2*(5/6)^3+3*(5/6)^4+4*(5/6)^5+・・・・・

分かりやすくちょっとずらして
Ｓ　　　　＝1*(5/6)+2*(5/6)^2+3*(5/6)^3+4*(5/6)^4+・・・・・
(5/6)*Ｓ＝　　　　　 1*(5/6)^2+2*(5/6)^3+3*(5/6)^4+4*(5/6)^5+・・・・・
上の式から下の式を引くと
(1/6)Ｓ　＝(5/6)＋(5/6)^2+(5/6)^3+(5/6)^4+(5/6)^5+・・・・
つまり（1/6）Ｓは、初項5/6、等比5/6の等比数列の和なので、無限和は５．
(1/6)Sが５なので、Ｓは３０。

--
こうやって、「元の式を何倍かして、ちょっとずらして、引き算する」っていうテクニックって
等比数列の和の公式を作るときに学んだ手法です。
なんで、それを思い出す（調べる）のが良いという、深淵なるアドバイスが付いているのです。

お礼

解答ありがとうございます。

また、アドバイスありがとうございます。
答えだけを求めすぎていました。
力を付けられるよう頑張ります。

回答No.2

info222_

>Σ【n=0～∞】 ｎ(5/6)^n
n=0の項は0なのでn=1～とします。

S=Σ【n=1～∞】 ｎ(5/6)^n　…(1)
両辺に(5/6)を掛けて
(5/6)S=Σ【n=1～∞】 ｎ(5/6)^(n+1)　…(2)

(1)-(2)より
S/6=[(5/6)+2(5/6)^2+3(5/6)^3 + … + n(5/6)^n +(n+1)(5/6)^(n+1)+ …]
　　　-[ + (5/6)^2+2(5/6)^3 + … +(n-1)(5/6)^n +n(5/6)^(n+1) + …]
= (5/6) + (5/6)^2 +(5/6)^3 + … + (5/6)^n + (5/6)^(n+1) + …
=(5/6)/[1-(5/6)]
= 5 …(答)

お礼

解答ありがとうございます。

後、Σ【n=∞~0】 ｎ^2・(5/6)^n
など、ｎに累乗をがついたとき、上の方法を二回行ったら解けたのですが、このやり方で大丈夫ですか？

回答No.1

Tacosan

等比級数の公式をどう作ったか, 覚えていますか?

補足

a(1-r^n)/1-r の公式は覚えていますが、
どうやって作ったのかは、覚えていません。