累乗の和の式の導出について

質問

S=1^2+2^2+3^2+...+n^2
で
(n+1)^2-n^3=3n^2+3n+1　(1)

において

(n+1)^2-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n　(2)

(n+1)^2-1=3S+3・1/2・n(n+1)-n　(3)

の式変形の流れがわかりません

特に
(1)から(2)に変形されるにあたって
(左辺)のn^3が1になっていること

(2)から(3)に変形されるにあたって
3Sとは別に3/2・n(n+1)がでてきたこと

がわかりません。

どのように変形すれば上記のような変形ができますか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

まず
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1　(1)
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n　(2)
(n+1)^3-1=3S+3*1/2*n(n+1)+n　(3)
が正しい式です。

(1)から(2)は、(1)をn=1からn=nまで加える。
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
...
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
を全部足せば(2)になります。

(2)から(3)は、
1+2+3+...+n=1/2*n(n+1)
と言っているだけです。

回答No.2

bran111

まず、（1）は間違いです。正しくは

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

（2）(3)はめちゃくちゃ間違いです。正しくは

Σ(k=1,n)[(k+1)^3-1]=Σ(k=1,n)[3k^2+3k+1]=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n　(2)

Σ(k=1,n)[(k+1)^3-1]=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n　
=3S+3・1/2・n(n+1)-n　(3)

これは
Σ(k=1,n)[k]=n(n+1)/2

Σ(k=1,n)[1]=n

を使っています。