組み合わせの和

質問

１からｎまでの数字のうち、異なる２つの数を選ぶ選び方はn(n-1)通りですが、
　１．2つの積の和
　２．2つの積の逆数の和
とかの公式はあるでしょうか。

回答No.7

staratras

No.1&No.6です。２．について1から10までの整数について具体的に計算してみます。この程度であれば、手で正直に計算してもなんとか求められます。

1/2(=1/1×2）から1/90(=1/9×10）までの45個の「相異なる2数の積の逆数」の和を求めると、3+(25933/50400）です。小数で表せば、3.51454365079365079365079…（「365079」が循環）

これはもちろん
1+1/2+1/3+…+1/10=7381/2520 の2乗　54479161/635400から
1+1/2^2+1/3^2+…+1/10^2=1968329/1270080 を引いたものの1/2と一致します。

これをNo.6の回答に示した近似式（3）で計算すると
=0.5*((0.5*(ln(10)+ln(11))+0.577215)^2-(π^2/6))≒3.4625くらいです。

この誤差の原因を考えると、調和数列の和の近似値の方は
0.5*(ln(10)+ln(11))+0.577215≒2.92745　で真の値7381/2520=2.928968…　に近いのですが、2乗の逆数の和の方は、真の値1968329/1270080=1.54976…と比べて(3)式で採用した収束値π^2/6=1.64463が過大となっています。近似式で求めた値が過少になっている主な原因はこの過大な数値を引いているためで、この点は改善の余地がありそうです。

回答No.6

staratras

No.1です。１の回答と同じ方針で２を解こうとしてもうまくいきません。
1+1/2+1/3…1/nや1+1/2^2+1/3^2+…1/n^2をｎの簡単な式で表すことができないからです。

このうち前者はいわゆる調和級数でn→∞のとき発散しますが、
y=1/x+1のグラフからHn=1+1/2+1/3+…1/n とすると
Hnは∫［0 to n]1/xdx=ln(n+1)にグラフの水色の部分の面積の和（y=1/x+1のグラフと1/nの階段のすき間）を加えたものです。ここで水色の部分の面積の総和γはn→∞のとき収束することが知られていて、γ≒0.57721566…　（オイラーの定数）と呼ばれています。したがってHn≒ln(n+1)+γ…(1)です。

また後者の平方数の逆数の和はn→∞のとき(π^2)/6に収束することが知られています。これらのことから求める和をSnとすると近似値は以下の式で求めることができます。

Sn≒(1/2)[{ln(n+1)+γ}^2-(π^2/6)]

n=1000 とすると、真面目に（といってもコンピューターを使って）計算するとS1000≒27.1941…くらいです。
上記の近似式で計算するとS1000≒27.1974…です。

ここでさらに「悪魔のささやき」が…、(1)式はnが大きくなればなるほど＝に近づきますが、実際よりわずかに過大になります。といって一般にはこちらが使われているHn≒ln(n)+γ…(2)とすると、今度は過少になります。では足して2で割ってしまいましょう。Hn≒（ln(n)+ln(n+1))/2+γ…(3)　この方が精度は良くなります。

たとえばH10は何とか手計算できてH10=7381/2520=2.928968254…です。
(1)式による近似値　H10≒ ln(11)+γ≒2.97511…
(2)式による近似値　H10≒ ln(10)+γ≒2.87980…
(3)式による近似値　H10≒(1/2)(ln(10)+ln(11))+γ≒2.927445…

よって(3)を代入した以下の近似式の方が精度がよくなります。
Sn≒(1/2)[{(1/2)(ln(n)+ln(n+1))+γ)^2}^2-(π^2/6)]
n=1000 のときの近似値は　S1000≒27.1936…です。

なおNo,1とこの回答は、2・3と3・2、(1/2)・(1/3)と(1/3)・(1/2)はそれぞれ同じものとみて重複して数えていません。別のものとみて重複して数えたいのであればそれぞれ2倍してください。

回答No.5

noname#227255

ANo.2～ANo.4の回答者です。
この質問から感じた蛇足回答です。

1において、例えばn=3とすると、
(1+2+3)^2=1^3+2^3+3^3
が成り立つことになりますが、実際に、
左辺=(1+2+3)^2=6^2=36
右辺=1^3+2^3+3^3=1+8+27=36
となって、確かに成り立ちます。
興味があったら、これを証明してみてください。

回答No.4

noname#227255

ANo.3の訂正です。
ANo.3は無視してください。

ANo.2における1の検算です。

n=3のとき
1*2+1*3+2*1+2*3+3*1+3*2=2+3+2+6+3+6=22
n(n+1)(3n+2)(n-1)/12において、n=3とすると、
3*(3+1)(3*3+2)(3-1)/12=3*4*11*2/12=22

回答No.3

noname#227255

ANo.2における1の検算です。

n=3のとき
1*2*1*3+2*1+2*3+3*1+3*2=2+3+2+6+3+6=22
n(n+1)(3n+2)(n-1)/12において、n=3とすると、
3*(3+1)(3*3+2)(3-1)/12=3*4*11*2/12=22

回答No.2

noname#227255

「異なる2つの数を選ぶ選び方はn(n-1)通りですが」ということは、1*2と2*1は別との解釈でよろしいですね。

1
1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
2つの積の和は、
1*n(n+1)/2-1^2+2*n(n+1)/2-2^2+3*n(n+1)/2-3^2+・・・+n*n(n+1)/2-n^2
=n(n+1)/2*(1+2+3+・・・+n)-(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2)
={n(n+1)/2}^2-n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1){n(n+1)/4-(2n+1)/6}
=n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)}/12
=n(n+1)(3n^2+3n-4n-2)/12
=n(n+1)(3n^2-n-2)/12
=n(n+1)(3n+2)(n-1)/12(n≧2)

2
2つの積の逆数の和は、
1/(1*1)+1/(1*2)+1/(1*3)+・・・+1/(1*n)-1/1^2
+1/(2*1)+1/(2*2)+1/(2*3)+・・・+1/(2*n)-1/2^2
+1/(3*1)+1/(3*2)+1/(3*3)+・・・+1/(3*n)-1/3^2
+・・・+1/(n*1)+1/(n*2)+1/(n*3)+・・・+1/(n*n)-1/n^2
=1/1*(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)+1/2*(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)
+1/3*(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)+・・・+1/n*(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)
-(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・+1/n^2)
=(1/1+1/2+1/3+・・・+1/n)^2-(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・+1/n^2)
あとは、これを公式化できるかどうかですが、どうも無理なようです。

参考URL：

http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa1819865.html

回答No.1

staratras

1の回答です。

(1+2+3+…n)^2=(1^2+2^2+3^2…n^2)+2(1・2+1・3+…n・(n-1))だから
求める「1からnまでの整数で相異なる2数の積の和」をSとすれば
S=(1/2)[(1/2)n(n-1))^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)]　が成り立ちます

展開して整理すれば
S=(n/24)(3n^3+2n^2-3n-2)
=(n/24)(n-1)(n+1)(3n+2)