実数（ z-1 / z+1 ）＝0 を示せ）

質問

ｚ＝COSθ　＋　iSINθ　であるとき、次のことを示せ

Re（　z-1　/　z+1　）＝0　

・・・という問題で、

解答が、添付ファイルのようになっています。
Aの式までは、わかりました。

このAの分子が、どうしてもBの分子のような形になりません。

(cosθ　-1　＋　isinθ）（cosθ＋１-　isinθ）

これを、単純に展開すると、どうしても、isinθが２つ残ってしまうのです。

私の今の考えは、【この分子にしても、問題の条件より”実数である”と指定されている。
よって、「i sinθが、式の中に残るのだが、そこは0になるはずだと考える」
・・・というものです。しかし、自信が持てません。

これは、どうなっているのか教えていただけると助かります。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>このAの分子が、どうしてもBの分子のような形になりません。
>(cosθ　-1　＋　isinθ）（cosθ＋１-　isinθ）
>これを、単純に展開すると、どうしても、isinθが２つ残ってしまうのです。
今ば実部だけを求めていることを忘れていませんか?

虚部は求めていないので、虚部は無視して下さい（取り除いてください）。
複素数の積の実部の公式が
　Re{(a+ib)(c+id)}=ac-bd　…(※)
であることを確認して下さい。

Aの分母は公式
　（p+iq)(p-iq)=p^2+q^2
の形なので実数です。⇒Bの分母

なのでAの実部をとるときは分子
>(cosθ　-1　＋　isinθ）（cosθ＋１-　isinθ）
の実部を考えれば良い。⇒Bの分子となる。

したがってAの分子の実部
Re{(cosθ-1＋isinθ）（cosθ＋１-isinθ）}
の計算は(※)の公式を使って下さい。
　a=cosθ-1, c=cosθ＋１, ｂ=sinθ, d=-b
とおけば
　ac-bd=ac+b^2=Bの分子　となりませんか？

お礼

非常に詳しいご説明を、どうもありがとうございます。

何が問題だったのか、ばっちり理解できました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.2

178-tall

>Aの式までは、わかりました。
>このAの分子が、どうしてもBの分子のような形になりません。

B には Re (実部をとれ) が付いてます。
それに従ってみれば？

お礼

・・・そのようでしたね・・・。

（もしかしたら）と思っていたのですが、皆さんにご指摘をいただいて確信に変わりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

hashioogi

分母は省略します。
(cosθ　-1　＋　isinθ）（cosθ＋１-　isinθ）
=(cosθ - 1)(cosθ + 1) - (cosθ - 1) i sinθ + (cosθ + 1) i sinθ + sin^2θ
=(cosθ - 1)(cosθ + 1) + sin^2θ+ 2i sinθ
従って、
Re = (cosθ - 1)(cosθ + 1) + sin^2θ
Im = 2sinθ
今BはReと書いてありますよね ?
Imに関しては触れていないので良いと思いますけど ?

お礼

Re（）ということの、意味を深く考えていませんでした・・・。

理解できました。

ご回答、どうもありがとうございました！