複素数平面の問題について

質問

z=-sinθ-icosθのとき、z^-4の絶対値と偏角を求めよ。
という問題で、
-sinθ-icosθ=cos(270°-θ)+isin(270°-θ)
と解答でなっているのですが、どうしてこのようになるのでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞i^2=-1、3π/2(ラジアン)=270°
オイラーの公式：e^(iθ)=cosθ+isinθを使う。
z=-sinθ-icosθ=i^2sinθ+i^3cosθ=i(isinθ-cosθ)
=-i(cosθ-isinθ)=-ie^(-iθ)
ここで-i=cos(3π/2)+isin(3π/2)=e^(i3π/2)だから
z=-ie^(-iθ)={e^(i3π/2)}*{e^(-iθ)}=e^{i(3π/2-θ)}
=cos(3π/2-θ)+isin(3π/2-θ)=cos(270°-θ)+isin(270°-θ)

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

spring135

z=-sinθ-icosθ=-i(cosθ-isinθ)=-iexp(-iθ)

-i=exp(i3π/2)=exp(270°i)なので

z=exp(270°i)*exp(-iθ)=exp(i(270°-θ))=exp(i(3π/2-θ))

z^(-4)=exp(i(3π/2-θ)*(-4))=exp(-i(6π-4θ))=exp(4θi-6πi)

2nπ(nは正負の整数)は無視できるので

絶対値=1

偏角=4θ

お礼

ありがとうございました！