極限の問題がわかりません

質問

考えてもわからないのでお願いします！！
(1)lim[x→∞]sinx/x
(2)lim[x→∞]x/tan2x

どうすればいいのでしょうか・・・。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

＃２です。
＞それはlim[x→∞]sinx/xなんです。

そうなんですか・・分かりました。
1/x=x'とおくと、x→∞のとき、x'→0
また、sinx/x={sin(1/x')}*x'
ここで、
|sin(1/x')|≦1なので、
0≦|x'*sin(1/x')|=|x'||sin(1/x')|≦|x'|
ですから、x'→0のとき、|x'sin(1/x')|→0となります。（はさみうちの原理）

よってlim[x'→0]x'sin(1/x')=0
lim[x→∞]sinx/x=0
となると思います。

お礼

どうもお返事ありがとうございました。なるほど、そういうことだったんですか。大変参考になりました。
どうも！！

回答No.6

mmky

参考までに

証明方法も出ていますが、何か公式を使って示したいというのであれば、
lim[x→∞]∫[0～x]sinx/x dx=π/2
ですから、両辺を微分すると、
lim[x→∞]sinx/x=0
という簡便法はありますね。

お礼

お返事ありがとうございます。なるほどそういう方法もあるんですね！！すごい感銘を受けました！！ありがとうございました。

回答No.5

noname#24477

(1)
ｘ→∞のときｘは正と考えていいですね。
-1<=sinx<=1ですから
-1/x<=sinx/x<=1/x
ｘ→∞のとき両端の極限値は０だから
間にはさまれた部分も０
（はさみうちの原理）

(2)はほんとにｘ→∞でしょうか。
これだと不定になります。

お礼

お返事が遅れまして申し訳ありません！！
（2）はｘ→∞じゃなくてｘ→0でした。申し訳ありません。わざわざどうもありがとうございました。

回答No.3

fushigichan

＃２です。下から３行目

sinx/x→1

でした。すみません。

お礼

どうも訂正ありがとうございます。

回答No.2

fushigichan

vice_macmahonさん、こんにちは。

＞(1)lim[x→∞]sinx/x

これは、lim[x→0]sinx/x
と考えてよろしいでしょうか？
ｘがゼロに近づくとき、この式は、１に近づきますが、何故そうなるか
三角形の面積で考えてみましょう。

今、OA=OB=1,∠BOA=x（弧度法）の三角形と扇形を考えます。
図を描いてみてください。
また、また、OBのＢの延長上に、OA⊥ATなる点Ｔを取ります。
このとき、AT=tanx,ΔBOAの高さ=sinx
となっていることはいいですね。

さて、面積を比べます。
ΔBOA<扇形BOA<ΔTOA
(1/2)*1*sinx<(1/2)*1*1*x<(1/2)*1*tanx
ですから、
sinx<x<tanx
ここで、0<x<Π/2のとき、sinx>0ですから、両辺sinxで割ると
1<x/sinx<1/cosx
逆数をとると、
1>sinx/x>cosx
ここで、x→+0のとき、cosx→cos0=1
なので、
lim[x→+0]sinx/x=1

また、-Π/2<x<0のときは、x=-x'とおくと、
0<x'<Π/2となるので、
x'→+0のとき、sinx'/x'→1であるから
x→-0のとき、sinx/x=sin(-x')/(-x')=sinx'/x'→1

以上より、xが正負どちらから０に近づいても、sinx/x→0
が言えました。

ｘ→∞であったらすみません。

お礼

こんにちは。ありがとうございます！！
＞＞(1)lim[x→∞]sinx/x
＞これは、lim[x→0]sinx/x
＞と考えてよろしいでしょうか？

あぁ・・・ごめんなさい。それはlim[x→∞]sinx/xなんです。その公式を使うのかなと思うんですけど、どうしていいのかわかりませんでした。でも公式の説明は始めて聞いたので大変参考になりました！！どうもありがとうございます。

お時間があればもう一度お願いしたいのですが・・・。

回答No.1

mmky

考え方の参考程度に

(1)lim[x→∞]sinx/x
sinxという関数の性質がわかれば解けますね。
(sinx)は周期関数で、|sinx|≦1　ですから、
lim[x→∞]|sinx|/x≦lim[x→∞](1/x)=0

(2)lim[x→∞]x/tan2x
この場合は(tan2x)の性質ですね。
(tan2x)も周期関数ですが、0≦|tan2x|≦∞　ですね。
だから収束先は不定ですね。
lim[x→0]tan2x/x は2に収束しますが逆はないですね。

お礼

お返事どうもありがとうございます！！
考え方はすごくよくわかりました！！
でも実際どうやってやればいいのかってのが・・・。
申し訳ないですが使う公式を教えてもらえませんか？
さっきからずっと考えてるんですけど・・・。