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簡単なハズ…数学の質問とは？
- 三つの箱から一つ選んで中身のお金をもらえるが、次の箱を開けると先に選んだ箱のお金はもらえない状況。
- 最初に選んだ箱の中身を必ずもらう戦略と、最後に選んだ箱の中身を必ずもらう戦略の金額の期待値について。
- 自分で考えた結果、両者の期待値は同じだが、答えでは最後に選ぶ戦略の方が期待値が低いとされており、その理由がわからない。解説を求めている。
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お礼、ありがとうございます。#2です。 おそらく、箱をセットする側は3つの箱に100円、200円、300円を入れておくが、被験者（箱を選ぶ人）には、いくら入っているか一切知らせないということでしょう。 そういう場合ですと、確率的に最適になる戦略が存在します。ただし、(1)＝(2)＝期待値200円であることは変わらないので、設問意図とまだ何らかの食い違いがあるかもしれません。 >(3)１つめの箱は開いて確認するだけで、必ず２つめの箱を開き、その金額が１つめ＜２つめなら２つめの箱をそのまま貰い、２つめ＜１つめならば３つめの箱を貰う 戦略(3)を場合に分けて考えてみます。あり得る選択は以下のようになります。 １．100円→200円：終了、200円獲得 ２．100円→300円：終了、300円獲得 ３．200円→100円→300円：終了、300円獲得 ４．200円→300円：終了、300円獲得 ５．300円→100円→200円：終了、200円獲得 ６．300円→200円→100円：終了、100円獲得 以上6通りになります。その期待値を計算すると、 (200＋300＋300＋300＋200＋100)/6＝250円 となり、戦略(1)、(2)より有利となります。 P.S. 同様の問題をEテレで以前にやっていた「数学基礎」でやっていました。それぞれに被験者には知らされない数が書かれた10個のくじ引きで、できるだけ大きい数を選ぶというものです（後で示されたのは4～90のバラバラの数）。手順は以下の通り。 １．3個までは選ばず数だけ確認。 ２．4個目がそれまでで一番大きければそれを選んで終了。違うなら続行。 ３．4個目が最大でなく、5個目が最大ならそれを選んで終了。違うなら続行。 ４．6個目が今までの2位以上ならそれを選んで終了。違うなら続行。 ５．7個目が今までの2位以上ならそれを選んで終了。違うなら続行。 ６．8個目が今までの3位以内ならそれを選んで終了。違うなら続行。 ７．9個目が今までの5位以内ならそれを選んで終了。違うなら続行。 ９．10個目になったら無条件にそれを選んで終了（するしかない）。 この戦略で、番組で設定していたくじでは、平均2.55番目に大きい数となることがシミュレーション結果ととして示されていました。最適戦略とされてはいましたが、どうしてその戦略がベストなのかは説明はありませんでした（たぶん難しいんだろうなあ、と思って調べてません^^;）。 なお、お示しの例では、箱をセットする側が一箱ごとに100円、200円、300円をランダムに選んだとも考えられますが、それについては検討していません。その場合でも、判断抜きに一つ選ぶのと、判断抜きに二つ捨てるのは同じ操作なので、(1)と(2)で期待値が変わることはないはずです。
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- fusem23
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実際の箱の金額（最高額）は知らされていないと仮定する。 最初の箱の期待値は、 (100+200+300)/3=200 であり、３つ開けた場合の期待値も同じである。 １番目より２番目の箱が大きい確率は 3/6 であり、期待値は (200*1+300*2)/3 = 800/3 となる。 よって、回答に示された戦略での期待値は (800/3 * 3/6) + (200 * 3/6) = 1400/6 となり、最初の箱を貰うより大きくなる。 １番目と２番目の金額が異なる場合、低い方は期待値より小さく、高い方は期待値より大きいと考えられるから、期待値より大きな金額が貰えるなら、貰った方が得をすると考えられる。
お礼
回答ありがとうございます。 少なくとも(1)と(2)の場合で期待値は変わらないということ、で合っていますよね。 もやもやが大分薄れたように思います。ありがとうございました。
>(1)最初に選んだ箱の中身を必ず貰う戦略 期待値は、100×(1/3)＋200×(1/3)＋300×(1/3)＝200円です。 >(2)１つめ、２つめは開けるだけで必ず最後に選んだ箱の中身を貰う戦略 三つから一つを選ぶのと、三つから二つを捨てるのは同じことです。ですので、期待値は(1)と同じく200円です。質問者様の計算は正しく、問題が正解としている「答えによれば(2)＜(1)」にはなりません。 お示しの条件は少し変です。 >箱を選ぶにあたっては中身を確認して、その中の金額を受け取るか、あるいは更に他の箱を開けて中身を確認するかを選ぶことができますが、次の箱を開けることを選ぶと先に選んだ箱の中のお金はもらえません。 箱を選ぶごとに中を確認して、それを貰うか、それを捨てて別を選ぶかできるわけですね。 でしたら、300円が出るまで選べばいいだけです。1度目に選んだ箱で300円が出ればそこで終了ですが、200円か100円なら捨てて次の箱を選ぶ。もちろん、次の箱が300円ならそれで終わればいいし、200円か100円なら最後の箱を選ぶ（この場合は必ず300円）。 必ず300円貰える戦略が存在します。確率と期待値の問題としてはどこか変です。もし問題を間違いなく伝えて頂いているなら、出題者が何らかの勘違いをしている可能性が高いです（それなら模範解答も間違っているはず）。
お礼
lazydog1さん、まずは回答ありがとうございます。 自分の疑問とは直接関係がなさそうなので省いていたのですが、元々の問題文には (3)１つめの箱は開いて確認するだけで、必ず２つめの箱を開き、その金額が１つめ＜２つめなら２つめの箱をそのまま貰い、２つめ＜１つめならば３つめの箱を貰う という戦略が提示されており、(1)～(3)の戦略の期待値の大小関係を比較するというものでした。 (3)が(1)・(2)より大きくなるということについては解答と自分の考えが一致していたので（解説がないので数値まで同じである確証はないのですが）今回の質問文からは省きましたが、これがあることで変わったりするのでしょうか…… 必ず３００円をもらえる戦略があることは私もすぐにわかりましたので奇妙に感じていました。 ただ、回答いただいた内容を読んでからふと気付いたのですが、元の問題分の始めの部分には 「箱を１つ選び中の金銭を獲得できるが、それぞれの箱の中の金額は知らされていない」 と示されており、これについて「どの箱に３００円が入っているかは知らされていない」という意味にとっていたのですがもしかしたら「どれだけの金額が入っているのか知らされていない」という意味かもしれないと思わなくもなかったり……最大金額がいくらなのか分からなければ何らかの方針を立てなくてはなりませんよね； 質問文について省いてしまった部分が多々あり、申し訳なかったと反省しております。 ただ、なんにしても(1)＝(2)であるのに違いは無い、ですよね……？ それとも上記の条件を加味すると変わったりするのか…… 質問を重ねるような形になってしまいましたが、なにはともあれ回答ありがとうございました。
この文章を読む限り、あなたの考える通り(1)＝(2)だと思います。 ただ選択肢は、「箱を選ぶにあたっては中身を確認して、その中の金額を受け取るか、あるいは更に他の箱を開けて中身を確認するかを選ぶことができます」という問題の設定が全く関係ないのが気になります。あなたの問題の解釈が間違っているということはありませんか？
お礼
botakuさん、まずは回答ありがとうございます。 直接的な疑問点と関係がなさそうなので省いたのですが、元々の問題には (3)１つめは開けるだけで、必ず２つめの箱まで中身を確認し、１つめと比べて２つめが大きければそのまま２つめの箱を貰い、１つめより２つめの箱の金額の方が少なければ３つめの箱を選ぶ という戦略があり、３つの戦略での期待値の大小関係を比較するというものでした。 解説はなく示された回答は「(2)＜(1)＜(3)」というもののみ。(3)の期待値が(1)・(2)より大きくなることは自分の考えと同じだったのでこの部分は私の質問からは省いていました。 この条件の有無で回答が変わるのでしょうか……
お礼
丁寧な回答恐れ入ります。 ううん、何度読んでもこれ以上の意図の食い違いは見いだせない； 問題文を全て一言一句変えず原文通り書こうかとも思いましたが…… これ以上御手間を取らせるのも申し訳ありませんし、少なくとも問題が私が理解できている通りの内容であれば(1)と(2)の期待値が同じであるのは間違いなさそうであることがわかりましたので大分すっきりしました。 あとは出題の意味を取り違えていないか、もう一度自分で問題文とにらめっこしてみようと思います。 ありがとうございました！