三角関数について

質問

(cos(2/7π))^(1/3)＋(cos(4/7π))^(1/3)＋(cos(8/7π))^(1/3)の解答を
途中式を含めて教えて頂きたいです。

先生に「解いてみる？」という雰囲気でメモを渡されたのですが、
まったく解けずに困っています。
一応、高校三年生IIICまでは勉強していました。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

以下の回答はすべて実数の範囲だけで考え、三角関数表などは使わずすべて代数的な計算だけで求めています。関数電卓で直接計算した値と一致しますが、あまりエレガントな解法ではありません。負の数の3乗根はa^(1/3)=-(|a|)^(1/3)とします。

a^3=cos(2/7π),b^3=cos(4/7π),c^3=cos(8/7π)　とおく、最終的な目的はa+b+cの値を求めることです。明らかにa^3>0.b^3<0,c^3<0でa^3+b^3+c^3<0です。

単位円上の点A(1,0)を一つの頂点とし、反時計回りに2π/7ずつ円周上に点B,C,D,E,F,Gをとると、ABCDEFGは正7角形となるから、
1+cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(6/7π)+cos(8/7π)+cos(10/7π)+cos(12/7π)=0
図の対称性から1+2(cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(8/7π))=0
よって　a^3+b^3+c^3=cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(8/7π)=-1/2　…(1)

また半角の公式からa^6=(1+cos(4/7π))/2=(1+b^3)/2.b^6=(1+c^3)/2,c^6=(1+cos(16/7π))/2=(1+cos(2/7π))(1+a^3)/2 …(2)(3)(4)

(a^3+b^3+c^3)^2=a^6+b^6+c^6+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)に代入して整理すれば、a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=-1/2 …(5)

さらに(2)(3)(4)を辺辺かけあわせて整理すれば、a^6b^6c^6=1/8(a^3b^3c^3) したがってa^3b^3c^3(a^3b^3c^3-1/8)=0
a^3b^3c^3≠0 より　a^3b^3c^3=1/8　よってabc=1/2 …(6)

ここで(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc に(1)(6)を代入し、a+b+c=x、ab+bc+ca=y とおいて整理すると　x^3-3xy-2=0 …(7)

また(ab+bc+ca)^3=a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3(ab+bc+ca)(a+b+c)abc-3a^2b^2c^2についても、同様の計算をすると　
y^3-(3/2)xy-5/4=0 …(8)

(7)(8)からyを消去しさらにx^3=Xとおいて整理すれば
４X^3-30X^2+75X+32=0
この方程式は幸い　4(X-5/2)^3=-189/2 と立方完成(？)できるので
実数解を求めると　X=(5-3*(7)^(1/3)))/2
したがって　x=((5-3*(7)^(1/3))/2)(1/3)≒-0.7175150796…

答え　(cos(2/7π))^(1/3)+(cos(4/7π))^(1/3)+(cos(8/7π))^(1/3)
=((5-3*(7)^(1/3))/2)(1/3)≒-0.7175150796…

お礼

詳しくお答えいただきありがとうございました！
解答をみながら一応計算を追うことができました。

回答No.1

info222_

cos((4/7)π)=-cos((3/7)π)<0,
cos((8/7)π)=-cos(π/7)<0
となるけど
a<0のとき a^(1/3)の値をどのように扱えばいいですか？

高校数学の範囲では未定義となって計算不能となります。
大学数学レベルで考える場合には、以下の計算方針を出題者に問いたい。

あくまで実数の範囲で考えるのか？その場合　a^(1/3)=-(|a|)^(1/3)で計算すれば良いか？

複素数の範囲で考えるのか？
複素数の範囲で考える場合は、
a^(1/3)の値が複素解3つ存在するけど、どの値で計算するか？
全ての複素解の組み合わせについて計算するのか？

について明らかにしていただく必要があります。

お礼

お礼が遅くなってすみません！
先生に聞きに行って解決しました！ありがとうございました。