0<=θ<2πのとき、この式を解いて下さい！

質問

0<=θ<2πのとき
cos2θ+3cosθ-1=0 と
sin2θ+cosθ=0 と
cos2θ-(√3)sinθ+2=0 と
sin2θ=sinθ
を解いて下さい。
途中式もお願い致します。

回答No.5

asuncion · ベストアンサー

(おっと)^2

(2)
sin2θ + cosθ = 0
sin2θ = 2sinθcosθ
2sinθcosθ + cosθ = 0
cosθ(2sinθ + 1) = 0
sinθ = -1/2は不適『じゃない』
cosθ = 0, sinθ = -1/2
∴θ = π/2, 7π/6, 11π/6

補足

答えは
（１）θ=π/3,(5/3)π
（２）θ=π/2,(7/6)π,(3/2)π,(11/6)π
（３）θ=π/3,(2/3)π
（４）θ=0,π/3,π,(5/3)π
になるはずです。
No.2のように途中式を教えて頂きたいです。

回答No.6

gohtraw

私も「おっと」でした。

二問目
　ｃｏｓΘ＝０の場合がありましたね。
三問目
　与式＝２（ｃｏｓΘ）＾２－１ー√３ｓｉｎΘ＋２
　　　＝２（１－（ｓｉｎΘ）＾２）ー√３ｓｉｎΘ＋１
　　　＝－２（ｓｉｎΘ）＾２ー√３ｓｉｎΘ＋３
ｓｉｎΘ＝ｘとおくと
－２ｘ＾２－√３ｘ＋３＝０
（－２ｘ＋√３）（ｘ＋√３）＝０

回答No.4

gohtraw

ｃｏｓ（２Θ）＝２（ｃｏｓΘ）＾２－１なので、
与式＝２（ｃｏｓΘ）＾２－１＋３ｃｏｓΘー１
ｃｏｓΘ＝ｘとおくと与式は
２ｘ＾２＋３ｘ－２＝０
（２ｘ－１）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝－２、１／２　だが、ｘ＝ｃｏｓΘなのでー２は不適
あとはｃｏｓΘ＝１／２となるΘを求めるだけ。

ｓｉｎ（２Θ）＝２ｓｉｎΘｃｏｓΘなので、
与式＝２ｓｉｎΘｃｏｓΘ＋ｃｏｓΘ＝０
ひとまずｃｏｓΘはゼロでないとして両辺をｃｏｓΘで割ると
２ｓｉｎΘ＋１＝０
ｓｉｎΘ＝－１／２

ｃｏｓ（２Θ）＝２（ｃｏｓΘ）＾２－１なので、
与式＝２（ｃｏｓΘ）＾２－１＋√３ｓｉｎΘ＋２
　　　＝２（１－（ｓｉｎΘ）＾２）＋√３ｓｉｎΘ＋１
　　　＝－２（ｓｉｎΘ）＾２＋√３ｓｉｎΘ＋３
ｓｉｎΘ＝ｘとおくと与式は
ー２ｘ＾２＋√３ｘ＋３＝０
（－ｘ＋√３）（２ｘ＋√３）＝０
ｘ＝√３、－√３／２だがｘ＝ｓｉｎΘなので√３は不適

ｓｉｎ（２Θ）＝２ｓｉｎΘｃｏｓΘなので、
２ｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ｓｉｎΘ
よってｓｉｎΘがゼロでないとき
２ｃｏｓΘ＝１
ｃｏｓΘ＝１／２
ｓｉｎΘ＝０のときΘ＝０、π

回答No.3

asuncion

おっと…。

(2)
sin2θ + cosθ = 0
sin2θ = 2sinθcosθ
2sinθcosθ + cosθ = 0
cosθ(2sinθ + 1) = 0
sinθ = -1/2は不適『じゃない』
cosθ = 0, sinθ = -1/2
∴θ = π/2, 5π/6

回答No.2

asuncion

(1)
cos2θ + 3cosθ - 1 = 0
cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1
2cos^2θ + 3cosθ - 2 = 0
(cosθ + 2)(2cosθ - 1) = 0
cosθ = -2は不適
cosθ = 1/2
∴θ = π/3

(2)
sin2θ + cosθ = 0
sin2θ = 2sinθcosθ
2sinθcosθ + cosθ = 0
cosθ(2sinθ + 1) = 0
sinθ = -1/2は不適
cosθ = 0
∴θ = π/2

(3)
cos2θ - √3sinθ + 2 = 0
cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ
1 - 2sin^2θ - √3sinθ + 2 = 0
2sin^2θ + √3sinθ - 3 = 0
(sinθ + √3)(2sinθ - √3) = 0
sinθ = -√3は不適
sinθ = √3/2
∴θ = π/3

(4)
sin2θ = sinθ
2sinθcosθ - sinθ = 0
sinθ(2cosθ - 1) = 0
sinθ = 0, cosθ = 1/2
∴θ = 0, π/3

回答No.1

gohtraw

ｃｏｓ２Θ　というのは　ｃｏｓ（２Θ）ですか？（ｃｏｓΘ）＾２ですか？
多分後者のような気がしていますが・・・。

補足

ｃｏｓ（２Θ）です。
わかりづらくてすみません・・・