数学です。

質問

xの多項式で表される関数f(x)と、その導関数f'(x)について、f(x)=(x×2)f'(x)-｛f'(x)｝^2、f'(1)=3/2が成り立つとする。 f(x)が3次以上にならない理由を述べよ。

詳しく解説よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman

fは多項式に限定。だから至る所xで何回でも微分できる。さらにxに関する恒等式
　　f = (x+2-f')f'　(★）
が成立つのだから、両辺をxで微分して
　　f' = (1-f'')f'+(x+2-f')f''
右辺を整理して
　　f' = f'+(x+2-2f')f''
従って、xに関する恒等式
　　(x + 2 - 2f')f'' = 0　（☆）
が成立つ。（すなわち、☆は★が成立つための必要条件である。）

　もしfが3次以上の多項式だとすると、f'は2次以上だから(x+2-2f')も2次以上であり、f''は1次以上の多項式。つまり☆は
　　(2次以上の多項式)(1次以上の多項式)=0
すなわち
　　(3次以上の多項式)=0
という式になって、これはxに関する恒等式にならない。

以上。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
おまけ。具体的に解fを出してみました。

fは2次以下の多項式
　　f = a(x^2) + bx + c
だと分かった。
　　f' = 2ax + b
　　f'' = 2a
である。また、
　　f'(1)=3/2
だから、
　　2a + b = 3/2　（※）
である。
　このとき☆は
　　(x + 2 - 2(2ax + b))(2a) = 0
であり、整理すると
　　((1 - 4a)x + 2(1 - b))a = 0

　だから、☆がxの恒等式になり、しかも※を満たすのは、
　　case 1: a=0 かつ b=3/2
　　case 2: a=1/4 かつ b=1
の場合だけである。
　それぞれのcaseについて、★を満たすようにcを決めてみると、結局、
　　case1の解　f = (3/2)x + 3/4
　　case2の解　f = (x^2)/4 + x + 1/4
が出ました。

回答No.3

Tacosan

ダウト＞#2.

f(x)=1次とすると f'(x)は0次(≠0,定数)なので
(※)の左辺=0次(≠0,定数)、右辺=1次となり矛盾。
はなぜ?

回答No.2

info222_

f(x)=(x+2)f'(x)-｛f'(x)｝^2

移項して
｛f'(x)｝^2=(x+2)f'(x)-f(x)　...(※)

f(x)=ｋ（≠0, 0次)とすると f'(x)=0 なので
(※)の左辺=0、右辺=-k(≠0)となり矛盾。

f(x)=1次とすると f'(x)は0次(≠0,定数)なので
(※)の左辺=0次(≠0,定数)、右辺=1次となり矛盾。

f(x)=2次とすると f'(x)は1次なので
(※)の左辺=2次、右辺=2次となり条件を満たす。

f(x)=3次とすると f'(x)は２次なので
(※)の左辺=4次、右辺=3次となり矛盾。

f(x)=4次とすると f'(x)は3次なので
(※)の左辺=6次、右辺=4次となり矛盾。

…

f(x)=(n+1)次（ｎ≧2)とすると f'(x)はn次なので
(※)の左辺=2n次、右辺=(n+1)次となり矛盾。

以上から関数f(x)は2次の多項式でなければならない。

回答No.1

spring135

x×2とは2xのことですか。

補足

すみません、x+2の間違いです。