x=yexp(ay)逆関数 y=f(x)を教えて！

質問

x=yexp(ay)の逆関数　y=f(x)を教えて下さい

級数展開でも、漸化式でも結構です。ご教示願います。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>x=y exp(ay)の逆関数　y=f(x)
ちょっと表現がおかしいですね。

y=x exp(ax) …(※) の逆関数は　x と y を入れ替えて(グラフ的には直線 y=x に対して線対称移動することと同じ)、
x=y exp(ay）　…(▼) ←　これは y について陰関数表現の(※)の逆関数です。
これを　y = f(x) … の形に表現したのが y について陽関数表現の(※)の逆関数です。

この f (x) は　添付図のようなグラフの関数となり、初等関数を用いては表せません。
特殊関数（大学数学レベル）のランベルトのW関数 W(x) （Lambert W function）を使えば

y=f(X)=W (ax)/a　（添付図のグラフ参照）

と解けます。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

お礼

早速の御回答、有難うございます。

添付いただいたLmbert W関数、私には難しいそうですが、辞書を片手に
解読にトライいたします。
この問題、１０年近く前に、微分方程式を解いていて出会った式ですが、結局ｙに
ついて解けず、そのままにしていたものです。複素関数から勉強してみます。

Ｐ．Ｏ
逆関数と陰関数の違いもご指摘いただき、これから同じ間違いで恥をかかずにすみ
ました。重ねて御礼申し上げます。

回答No.2

stomachman

aとxの値によって、コタエがない場合もあるし、コタエが複数ある場合もあります。（x=yexp(ay)のグラフをいろんなaについて描いてみればお分かりになるでしょう。）コタエがある場合、なんとかして望むコタエに近い値y[0]が推定できれば、あとは

y[n+1] = y[n]+(y[n] exp(a y[n])-x)/((1+a y[n])exp(a y[n]))

を繰り返し計算すれば、その推定値を改良することができます。

お礼

漸化式をパソコンで数値計算させてみます。確かにaの値によっては無限ループに
入る可能性もありそうですね。
試してみます。

御回答、有難うご座いました。