締切済み 群論 2010/12/09 11:22 何度も考えても分からず質問致しました。 xy平面における合同変換O2(R)をGとし,回転部分群Rot(V2(R))をHとする!また,X軸に関する対称変換をfとする!このとき,G=H∪fHとなることの証明を教えてください! みんなの回答 (2) 専門家の回答 みんなの回答 alice_44 ベストアンサー率44% (2109/4759) 2010/12/09 12:53 回答No.2 それは、たぶん、中学1年の数学の教科書に書いてある。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(1) koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2010/12/09 12:09 回答No.1 どのくらい考えたのか補足にどうぞ もちろん、時間を聞いてるのではないよ 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 群論の証明 xy平面における合同変換群O2(R)をGとし、回転部分群Rot(V2(R))をHとする。 また、x軸に関する対称変換をfとする。このとき、G=H∨fHとなることを証明せよ。 とあるのですが証明できません。 ここまで調べてきたことは、 xy平面の回転群Rot(V2(R))は直交変換群O2の正規部分群であること。 正三角形の合同変換群<(12)、(13)>において、回転変換からなる部分群<(123)>は正規部分群であること。 です。 これらをうまく利用して解くのだとは思いますが、いざ文章で表記した時にどう書けばいいかわからないのが現状です。 最悪アドバイスだけでもかまいません。 どうかよろしくお願いします。 群論について ジョージャイの「物理学におけるリー代数」を読んでいるのですが、次の文章の意味がわかりません。 物理系の変換には自然な掛け算則が存在する。g1とg2を2つの変換とすれば、g1g2は、先ずg2を行い、次にg1を行うことを意味する。ただし、合成則を我々が今やったように右から左へと定義するか、左から右へとするかは全くの約束であることに注意しておきたい。どちらでも、完全に矛盾のない変換群の定義を与える。 この変換が量子力学系の対称性である場合には、変換はそのヒルベルト空間を等価なヒルベルト空間に移す。各々の群の元gに対し、ヒルベルト空間を等価なそれに移すユニタリー演算子D(g)がある。変換された量子状態は変換された物理系を表すので、これらのユニタリー演算子は変換群の表現をなしている。かくして対称性の任意の集合に対し、ヒルベルト空間上の対称性の群の表現が存在する。ーヒルベルト空間はその群のある表現にしたがって変換する、と言う。さらにまた、変換された状態はもとのそれと同じエネルギーを持っているので、D(g)はハミルトニアンと交換する。 (引用終わり) 以下の5つの部分がわかりません。 (1)「この変換が量子力学系の対称性である場合」とはどういうことでしょうか?この場合の対称性とは何のことですか? (2)「等価なヒルベルト空間」とはどういう意味でしょうか? (3)「変換された量子状態は変換された物理系を表すので、~変換群の表現をなしている」というロジックがわかりません。 (4)「ヒルベルト空間はその群のある表現にしたがって変換する」とはどういう意味でしょうか? (5)最後に、変換された状態はもとの状態と同じエネルギーを持っているというのは、どうしてですか? 分かる方ご教授ください。よろしくおねがいします。 1問でもいいので分かる方解答お願いします 代数学の質問です (1)ユークリッド空間R^n(n≧1)の合同変換群Hにおいて、平行移動の全体の作る部分群Nは、N◅Hを満たすことを証明せよ。 さらに、H/NはO(n,R)に同型なことを証明せよ (2)n≧2を整数とする。ユークリッド空間R^nの合同変換群をGであらわす。 1.GのR^nへの作用は可移であるか?理由もつけて答えよ。 2.R^nの原点OにおけるGの安定部分群を求めよ (3)Kを体とする Kjouno 有限次元ベクトル空間V、その部分空間Wについて dim_k(V/W)=dim_k(V)-dim_k(W)を証明せよ 群論 『群Gの位数は,ある部分群Hの正規化群N(H)の位数と,その部分群の共役類の位数(位数をc(H)とする) (その部分群に共役な部分群が何個あるか)の積に等しい』という |G|=|N(H)|*|C(H)|の証明はどう考えていけばいいのでしょうか。 次の問題を教えてください 平面上の正方形の対象の群をGとする。その中心をO、Gの単位元はeとし、Oを中心とする回転角σを90゜回転,180度回転をσ^2、270度回転をσ^3、τを正方形の一つの線対称の鏡映、τ2を正方形のもう一つの線対称の鏡映、辺の中心から引いて出来た線の鏡映をτ3,τ4とすると (1)τ1=τとおくと、στ=τ4,σ^2τ=τ2,σ^3τ=τ3となりGは次の8個の元からなることを証明せよ e,σ,σ^2,σ^3,τ,στ,σ^2τ,σ^3τ (2)τσ=σ^(-1)τとなることを証明せよ 以上の問題がわからないのでどなたかおしえてください お願いします 群論の交換子群について (問題) Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき, [G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群 となることを示せ. ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し(記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました),G/HはHによる商群とする. (質問) この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません. 手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して, {a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1) であるから, (aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH) よって,G/Hはアーベル群である. とあるのですが,(1)が示せません. (1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています. a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です. どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします. 回転体の体積 aを0<a<1/4を満たす実数とする。xy平面で不等式 y^2≦x^2(1-x^2)-a の現す領域をy軸周り回転させた回転体の体積を求めよ。 図形の概形がまずわからないのですが、y軸対称、x軸対称、原点対称ぐらいしかわからないです。 まずどうやって概形を求めればいいのでしょうか?ヒントでお願いします。 群論の問題です (1)G, G′ を群,H を G の正規部分群とする.f : G → G′ が準同型写像のとき f(H)は G′ の正規部分群か否か? 正規部分群ならば証明し,そうでないならば反例をあげよ. (2) n を正整数とするとき,Aut(Z/nZ) ≅ (Z/nZ)^x を示せ. この二問がわかりません。教えていただければ幸いです。 高校の極方程式の問題に関する質問です。 問題)極方程式 r=2(1+cosθ)で表される曲線を、原点を極、x軸の正の部分を始線にとって、xy平面に描く。この曲線がx軸に関して対称であることを示せ。 質問)x軸対称が成立は、関数y=f(x)とy=g(x)の間に、g(x)=−f(x)の関係が成り立つ場合だと考えています。この問題も同じように考えるのだと思いましたが、どのように考えて行けばいいのか分かりません。 群論の指数に関する定理 Hをアーベル群Gの部分群、f:G→G’を群の準同型とする。この時、指数[f(G):f(H)]と[ker(f):ker(f)∧H] はともに有限である。さらに[f(G):f(H)]=[G:H]/[ker(f):ker(f)∧H]が成り立つ。 どなたか証明をお願いします。僕は高校数学と群論の基礎的な知識しか背景として持っていないです・・・特にker(f):ker(f)∧Hあたりが出てこないです。ぼくがやったら[f(G):f(H)]=[G:H]/[ker(f)]が成り立つ。となってしまいました 線形変換を教えてください!! 線形変換を教えてください!! 『原点を通り、ベクトル(sinα,0,cosα)に直交する平面についての折り返しを表す行列を求めよ』という問題があります。 その答えは 『y軸のまわりの角度-αの回転、xy平面についての折り返し、y軸の周りの角度αの回転を続けて行えばよい』となっています。 しかし、自分なりに考えてみて 『y軸のまわりの角度αの回転(z軸をベクトル(sinα,0,cosα)に重ねるため)、xy平面についての折り返し、y軸の周りの角度αの回転(z軸をもとに戻すため)』と考えたほうがしっくりきます。当然答えは違ってくるのですが… 考え方に間違いがあるでしょうか? 行列 対称 変換 3次元(xyz)でx軸で折り返す対称な変換行列は どのように作れば良いでしょうか? y軸(x-z平面)の回転行列を使ってθ=π/2を 代入して作ってみると、 (0 0 -1) (0 1 0) (1 0 0) と言う行列になりました。 間違いでしょうか? 3次元での対称は変換を表す 変換行列の作り方を教えて頂けないでしょうか? また、直交行列は直交変換と関係がありますが 対称な変換と対称行列は全く関係ありませんよね? 以上、ご回答よろしくお願い致します。 同じ質問で恐縮ですが 同じ質問で恐縮ですが 前回頂いた回答では正しい答えではない様に思えますので、再度同じ内容の質問をします。 XZ平面上にあって、x軸に対してα傾き原点Oを通る直線Aと、XZ平面をZ軸を軸に反時計回りにΦ回転させた平面上にあって、XY平面に対してβ傾き、原点を通る直線Bとによって定義される平面に、Z軸上の任意の点Pから垂線をおろし、その交点をHとするとき、∠OPHの大きさを教えてください。 前回のMr_Hollandさんの回答では、arccosの対象となる数値が1より大きくなってしまいそうです。 コイルの問題です 問題は z軸方向に一定の磁場Hがある。XY平面上に原点を中心とした半径rの円形のコイルを設置し、Y軸を軸としてコイルを1秒にn回転させた。コイルに発生する誘導電流を求めよ。コイルの電気抵抗をRとする。 です。 どなたか、やり方を教えてください。 ストークスの定理の証明について。 お世話になります。よろしくお願いします。 ストークスの定理の証明について教えてください。 ストークスの定理の証明は、 http://www.iwata-system-support.com/CAE_HomePage/vector/vectana14/vectana14.html このHPのように、「xy平面に平行な微小長方形を考え、そこで定理が成立するので、 任意の図形でも成り立つ。」としているものが多いと思います。 けれど、微小長方形に平行な平面の座標が(u, v)と変わると、 定理の 「∫_(C)(F→)・(x→) = ∫∫_(S)rot(F→)・d(S→)」・・・(1) のF(x,y,z)もG(u,v)と関数が変わってしまうので、 「∫_(C)(G→)・(l→) = ∫∫_(S)rot(G→)・d(S→)」を変ってしまうので、 (u,v)から(x,y,z)に変換し直す必要があると思うので、それほど単純に明らかではないと私は思うのですが、どうでしょうか? 変換の方法などももし分かりましたら、合わせて教えて頂けると助かります。 よろしくお願いいたします。 幾何学 極座標 極座標で、点(r,θ)に次の変換をほどこすと、角αの回転で、(r,θ+α)に、原点Oに関する点対称で、(r,θ+π)に、始線に関する鏡映で、(r,-θ)に、直線θ=αに関する鏡映で(r,2α-θ)に移ることを証明したいです。どうぞよろしくお願いします。 連続群論 ポントリャーギンの連続群論 G、G* 位相群 g:G→G* への準同型 p121でb)単位元eの任意の近傍Vに対して,g(V)⊃V*なるごとき単位元e*の近傍V*が存在する。 条件bから写像gがopen mapなることの証明はどうすればいいのでしょう。 証明 G∋∀a、aでopen mapなること。 U∋a、任意の開集合をとる。 g(U)がopenを示す。 g(U)∋任意b’=g(b)をとり、b’をふくむO:open setがあってO⊂g(U)を示せばいい。 a-1U:eの近傍となる ここから先が進みません。ご教授願います。 対称移動と回転の合成のイメージでの理解 平面上の一次変換を考えます。 (y=xtanαに関する対称移動)は、 (原点中心で角αの回転)*(x軸に関する対称移動)*(原点中心で角-αの回転) という合成になります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。 これは、式を書かなくても、イメージで十分納得できます。 また、(y=xtanαに関する対称移動)は、 (原点中心で角2αの回転)*(x軸に関する対称移動) という合成にもなります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。 しかし、これは行列の積の式では理解できるのですが、どうしてもイメージできないのです。 x軸に関する対称移動して、原点中心で角2αの回転すれば、y=xtanαに関する対称移動になる理由を、式を用いないで教えていただけないでしょうか。 同値関係の問題です。 同値関係の問題です。 1)群Gと部分群Hで{(x,y)|xy∈H}がG上の同値関係でないものを与えよ。 2)群Gと部分群Hで{(x,y)|xyx^(-1)y^(-1)∈H}がG上の同値関係でないものを与えよ。 3)RをXの同値関係とする。与えられたx∈Xに対して、y∈Xを(x,y)∈Rとなるように選ぶ。対称律より(y,x)∈Rとなり、次に推移律より(x,x)∈Rが示される。それゆえ、同値関係の反射律は余計なように思える。この議論の何が問題なのだろうか? 1問でもいいので分かる方おねがいします。 群論の基礎で・・・ 今群論を勉強しているのですが、勉強を進めていてわからないところがいくつかあって困っています。どなたか教えていただけると嬉しいです。 (1)「Gを有限群、Hをその部分群、とする時 Gの元の位数、は、Gの位数、の約数である。」 と、あったのですが、これは何故でしょうか。。 (2)「写像fを、R(実数)-{0} → C(複素数)-{0} θ → exp(2πiθ) で定めるとき、これは準同型写像」 とあったのですが、準同型の定義に従って、R-{0}の2つの元としてθ,ψをとってきて、f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成立することを確認しようとすると、(左辺)=exp(2πiθψ)、(右辺)=exp(2πiθ)・exp(2πiψ)=exp(2πi(θ+ψ))となり、この2つが等しいとは思えません。 f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成り立つためには、R-{0}内での演算は+(足し算)で、C-{0}内での演算は×(掛け算)、というふうに演算が定められている、と、考えるのかな?と思ったのですが、違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか? 長くてわかりにくい文章になってしまいすみません。 よろしくお願いいたします。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば? 新幹線で駅弁食べますか? ポテチを毎日3袋ずつ食べています。 優しいモラハラの見抜き方ってあるのか モテる女性の特徴は? 口蓋裂と結婚 らくになりたい 喪女の恋愛、結婚 炭酸水の使い道は キリスト教やユダヤ教は、人殺しは地獄行きですか? カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる! 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