sI-Aは正則か

質問

http://www.gifu-nct.ac.jp/elcon/labo/endo-n/endo/lecture/syscon/node4.html
このサイトを利用させていただきます
(4.3)式
sX=AX+BU
(sI-A)X=BU
X=(sI-A)^(-1)BUと求めてますが
sI-Aは逆行列を当然もつものとして扱ってます
sI-Aはかならず正則なんでしょうか

回答No.1

reiman · ベストアンサー

sI-Aが正則であるようなsが存在することがいえればよい

Schur分解によって
適当な正則行列Pと上三角行列△により
△=P^-1APとできる
すると
|sI-A|=|P^-1||(sI-A)||P|=|P^-1(sI-A)P|=|sI-P^-1AP|=|sI-△|
従ってAの固有値のうち絶対値最大のものをλとすると
s>|λ|に設定すると|sI-A|≠0である

お礼

よく考えたら
(sI-A)^(-1)=
adj(sI-A)/det(sI-A)で
det(sI-A)は固有多項式そのものなので
sが固有値だと正則じゃないですね
ありがとうございました

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

Sの全ての値で正則である必要はないのです。

ラプラス変換では、Sの値によって式が発散してしまう点を極と呼びますが
この位置や形が逆変換の形をきめます。
非正則なところがないと困るのです。

お礼

そういえばadj(sI-A)/det(sI-A)の
分母=0を極というのを思い出しました
ありがとうございました