A、B、C、Dをn次正則行列とする場合、｜A B C D｜＝｜AD－C

質問

A、B、C、Dをn次正則行列とする場合、｜A　B　C　D｜＝｜AD－CB｜の証明方法が分かりません。教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

178-tall

>A、B、C、Dをn次正則行列とする場合、｜A　B　C　D｜＝｜AD－CB｜.........

行列
　(A　B)
　(C　D)
を (A B ; C D) と記し、
行列式
　|A　B|
　|C　D|
を |A B ; C D| と記します。

部分正方行列 C, D が交換可能、すなわち CD = DC とする。
　(A B ; C D)(D 0; -C I) = (AD-BC B ; CD-DC D) = (AD-BC B ; 0 D)
　|A B ; C D| |D| = |AD-BC| |D|
D が正則だから(|D|≠0)、
　|A B ; C D| = |AD-BC|
B, C が交換可能ならば、
　|A B ; C D| = |AD-CB|

交換可能性を外すと、違ってきますけど…。

回答No.1

univ-kyoto

それってもしかしてですが、
｜A　B｜
｜C　D｜

＝｜AD－CB|を示したいのですか？？
違ったらすいません

補足

まさにおっしゃる通りです。