(1)ｎ次行列の環Ｍn（Ｃ）の正則元の全体はＧＬn（Ｃ）:=｛ＡはＭn

質問

(1)ｎ次行列の環Ｍn（Ｃ）の正則元の全体はＧＬn（Ｃ）:=｛ＡはＭn（Ｃ）｜det（Ａ）≠０｝であることを示せ。

(2)整数を成分とするn次行列Ａが環Ｍn（Ｚ）の正則元となる条件を述べよ。

の解答を教えていただきたいです！できれば詳しくお願いします…

回答No.4

alice_38 · ベストアンサー

detが正則 ⇒ 行列も正則 の証明:
行列 A の i 行 j 列成分を A(i,j) と書くと、
det A = Σ[置換σについて] sgn(σ)・Π[iについて] A(i,σ(i))
と書ける。これは、行列式の定義。
この式を、A のどれかの行に注目して眺めると、
行の n 個の成分の一次結合になっている。

そのときの A(i,j) の係数を Δ(j,i) と置くと、
det A = Σ[jについて] A(i,j)・Δ(j,i) と書ける。
Δ(i,j) を i 行 j 列成分とする行列を Δ と置けば、
行列積 AΔ の対角積分が皆 det A
だということになる。
また、AΔ の k 行 i 列積分は、
A の i 行を k 列のコピーで置き換えた行列
の行列式に等しくなるから、0 である。
以上より、AΔ = (det A)E が成り立つ。
ここで、det A が正則であれば、
(det A)r = 1 となる r が存在するから、
上式の両辺に r を掛けて、
A(rΔ) = E となる。

回答No.5

alice_38

誤字訂正:
「A の i 行を k 行のコピーで置き換えた行列」

回答No.3

alice_38

正則 ⇒ detも正則 の証明:
こちらは簡単。
行列方程式 AX = E の両辺の行列式をとって、
(det A)(det X) = 1。
よって、X が存在するのなら、
det A は正則でなくてはならない。

回答No.2

alice_38

(1)(2)を含んで、より一般的に、
環 H 上の行列環 Mn(H) の元 A が正則となる
必要十分条件は、行列式 det A が H 上正則なこと
である。 …という定理があります。
(証明は、A No.3 で後述。)

これを使えば、
(1) C は体なので、零元以外全て正則。
(2) Z で正則な元は ±1 の二つのみ。
…で解決です。

回答No.1

yskfr

(1)
任意の正則元Aは逆行列が存在し一意に定まらなくてはいけないから。
(2)
∃!A^{-1}∈Ｍn（Ｚ）

でしょうか？全然的外れだったらごめんなさい。