空間ベクトル

質問

いろいろ参考書を見てみましたが載っていなかったので質問させてください！
パラメーター表示を求めたいのですが
１、２点（１，０，２）（２，３、－１）を通るもの
２、x－y＋２z＝３　２x＋３y－z＝１の交わり
がどうもわかりません。
公式などあるのでしょうか？？
参考書には方向ベクトルが出ているときしか載っていませんでした。
どなたかわかる方よろしくおねがいします。

回答No.1

naozou · ベストアンサー

1. A(1, 0, 2), B(2, 3, -1) とします。
直線の方向ベクトルはベクトルABにすればいいので、
ベクトルAB=(1, 3, -3)なので
(x, y, z)
= (t, 3t, -3t) + (1, 0, 2)
= (t + 1, 3t, -3t + 2) tは実数
となります。

2. x - y + 2z = 3, 2x + 3y - z = 1から文字を消去してy = -x + 1, z = -x + 2 が得られます。
なので、
(x, y, z)
= (x, -x+1, -x+2)
= (x, -x, -x) + (0, 1, 2)
となります。すなわち t を実数として
(x, y, z) = (t, -t+1, -t+2) がパラメータ表示となります。

お礼

夜遅くに回答ありがとうございます！
（１）も（２）も解き方がよくわかりました。
パラメーター表示がどうも苦手で。。。
ありがとうございました！

回答No.2

KENZOU

naozouさんのご回答１）の補足です。
図を書いてチェックしてください。空間に原点Ｏ（０，０，０）と２点ａ（１，０，２），ｂ（２，３，－１）を取ります。点ａ,bの位置ベクトルをそれぞれＯＡ，ＯＢとし、２点ａ，ｂを通る直線上の任意の点Ｃの位置ベクトルをＯＣとすると
　ＯＣ＝ＯＡ＋（ＯＢ－ＯＡ）×ｔ＝ＡＢ×ｔ
となります。ここでｔは実数のパラメータです。ベクトルＡＢの（ｘ，ｙ，ｚ）成分は位置ベクトルＯＢ，ＯＡの（ｘ，ｙ，ｚ）成分の差ですから
　ＡＢ＝（２－１，３－０，－１－２）＝（１，３，－３）
ＯＡ＝（１，０，２）だから
　ＯＣ＝（１，０，２）＋（１，３,－３)×ｔ
　　　＝（１＋ｔ，３ｔ，２－３ｔ）
となります。
２）はnaozouさんのご回答をヒントにご自分でトレースしてみてください。

お礼

なるほど。こういう解き方もあるんですね！
参考にします！
回答ありがとうございました。