空間のベクトル 球面の問題です

質問

中心が（３．２．－１）で直線ｘ＝y/2 = z/-2 から長さ２の線分を切り取る球の方程式を求めよ

この問題の解答の意味がわかりませんでした。

＜解答＞
ｘ＝y/2 = z/-2 = Kとおいて、直線上の任意の点は
（ｋ、２ｋ、－２ｋ）と表せる。
中心から直線へ垂線を下す。（直線は方向ベクトルと内積で）
球の中心Ｃ（３，２、－１）から、この直線へ引いた垂線の足を
Ｈ（ｘ、ｙ、ｚ）とすると、ｘ＝ｋ、ｙ＝２ｋ、ｚ＝－２ｋで
ＣＨ→は直線の方向ベクトル（１，２、－２）に垂直である。
∴（ｋ－３）・１＋（２ｋ－２）・２＋（－２ｋ＋１）（－２）＝０

∴９ｋ－９＝０　　　∴ｋ＝１
よってＨ（１，２，－２）であり、球の半径ｒは
ｒ＾２＝（２＾２＋１＾２）＋１＝６

∴（ｘ－３）＾２＋（ｙ－２）＾２＋（ｚ＋１）＾２＝６

質問：最後のｒ＾２＝（２＾２＋１＾２）＋１＝６だけわかりませんでした。後はわかったのですけど、ｒは半径で、こんかいＣＨ＾２＝ｒ＾２としたのでは？と考えたのですけど。。そうしたらＣの座標は
Ｃ（３．２．－１）、Ｈは（１，２、－２）　なので
ＣＨ＝√3-1+2-2+-1+2 = √３ で二乗してＣＨ＾２＝３だとおもぅたのですが、６でした。
この解答の式も自分の計算とはちがって
なぜか、ｒ＾２＝（２＾２＋１）＋１＝６と
（２＾２＋１）と＋１という二つの項があり、分けているので、別の考え方からの計算問題と考えられるのですけど、、どうやってこの式になったのかわかりませんでした。
どなたか教えてください。

宜しくお願いします＞＿＜

回答No.3

techbrain · ベストアンサー

元大学受験予備校理系主任講師の経営システムコンサルタントです。（一応、数学担当です(笑)）

球を定義するには中心と半径が決まれば良い、と言うのは判りますか？
問題文に中心座標が指定してありますので、半径さえ判れば良いことになります。【ちなみに中心Ａ（ａ，ｂ，ｃ）、半径ｒの球の方程式が　（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2＋（ｚ－ｃ）^2＝ｒ^2　であることは論を待たないこと、ということが理解できていることを前提とします。】

ということは、その球から「直線ｘ＝ｙ／２＝ｚ／－２ から長さ２の線分を切り取る」という条件は、半径を定めるために使う訳です。

ここで球と直線が交わる状況を考えてみて下さい。ボールに針金を通すイメージです。
球の中心を通らないとすれば、針金の通過する２点と、球の中心で三角形が出来ることが判るでしょうか？
この三角形は半径ｒを両辺とする二等辺三角形になります。よって中心から底辺に下ろされた垂線は、底辺を垂直に二等分することも理解できると思います。(その直線と、球の中心を通る切断面を考えてみて下さい。判らなければ粘土で球を作り、針か糸で直線を模擬的に作ってみれば判ります。)
ということは、「底辺の長さ＝切り取られる長さ＝２」という条件から、直線と球の交点を求めれば、『上記の二等辺三角形の両辺の長さ＝球の中心と交点の距離＝半径』となり、球の方程式が求まる、と言うわけです。

今回の場合、問題文から
球の方程式：（ｘ－３）^2＋（ｙ－２）^2＋（ｚ＋１）^2＝ｒ^2
直線方程式：ｘ＝ｙ／２＝ｚ／－２
となっているので、「交点の座標を求める＝両方程式に共通のｘ，ｙ，ｚを求める」ということですから、直線の方程式ｘ＝ｙ／２＝ｚ／－２を利用して、ｘ，ｙ，ｚを１つの文字(＝パラメーター)で置き換えると問題が解きやすい、即ち単純化されるのでｘ＝ｙ／２＝ｚ／－２＝ｋと置く、という一文が出てくる訳です。
必ずこうやって解かないといけないわけではありません。ハッキリ言えば、今回の場合、単純な方程式ですからｙ＝２ｘ、ｚ＝－２ｘと解き直して、これを球の方程式に代入してｘの２次方程式を解いても良かったのです。ただ、パラメーターに置き換えることで様々な場合で単純化(＝変数文字種の統一)が出来るメリットを理解して頂ければ、今後にも役立つでしょう。
ｘ＝ｋ，ｙ＝２ｋ，ｚ＝－２ｋですので、これを球の方程式に代入するとｋに関する２次方程式が出来上がります。これを解けばｋの値が２つ出てくることも理解できるでしょう。
ということは球と直線の交点の座標は２つ定まることになります。これで上記で言っていた二等辺三角形になる、ということもご理解頂けるでしょう。ちなみにｋが重解で１つしか出なかった場合は、交点が２つだけの時、ということですので、直線が球の表面上でピッタリ接している時ということになります。

ただ、上記のやり方はカッコよくないというか、数学の回答としては“ベタ過ぎる”ので、少しカッコ良くやろうとすると、ベクトルの内積の性質から“垂直なベクトル同士の内積＝０”ということと、直線の方程式から方向ベクトルがスグに判るので、それを利用したらｋがスグに理解できる、ということですね。
お判りにならなかった部分については、幾何的性質でお考えになればすぐに判りますが、要は半径ｒと垂線ＣＨ、底辺の半分で直角三角形が出来るので、三平方の定理から『ｒ^2＝ＣＨ^2＋(底辺の半分)^2　』という式が導かれています。

ご面倒でも苦手でも、空間図形を平面で切り取った図を描く練習をされ、習慣化されることをオススメします。そうすると空間図形の問題も大した問題ではないことが判ります。頑張って下さいね。nana070707さんの受験勉強か、自主勉強かは私には判りませんが、陰ながら応援しております。

お礼

返事を書いていただいて、またこんなに詳しく教えていただいて本当に、本当にどうもありがとうございました！！
あれから、言われたとおりに何度も見直してといてみたら解けました！！空間の図形に入ってから、ものすごく平面のときより難しくなったので、また、今まで習った事を並べて、といていくので、とても大変ですが、とても解いてて面白いと思います。
本当にどうもありがとうございました！！！！！！！！！！

回答No.2

age_momo

まず第一に2点A(Xa,Ya,Za),B(Xb,Yb,Zb)がある時、この2点の距離Lは

L=√{(Xa-Xb)^2+(Ya-Yb)^2+(Za-Zb)^2}

です。決して

√Xa-√Xb+√Ya-√Yb+√Za-√Zb

ではありません。今、2点C(3,2,-1),H(1,2,-2)があればその距離は

√{(3-1)^2+(2-2)^2+(-1+2)^2}=√(2^2+1^2)=√5

です。次に元々の問題の意味ですが、適当な円(球)を書いてください。
それに2点で交わる直線を書きます。この2点をD,Eとしておくと
DEの長さが2になると問題は言っています。
今、円(球)の中心Oから直線Hまでの距離が√5と分かりました。
DH=HE=1ですから円(球)の半径rの2乗は

r^2=OH^2+HE^2=(√5)^2+1^2=6

です。解答は√5を出す過程とrを出す過程を合わせて

r^2={(3-1)^2+(2-2)^2+(-1+2)^2}+1^2=(2^2+1^2)+1^2=6

としているのですね。

お礼

返事を書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！
単純なミスや、勘違いをしていました！！何度も復習をしてこういったミスをなくす努力が必要だとものすごく感じました>_<
今回返事書いていただいた内容を自分のノートに書いて、何度も見返してます。本当に困っていたので、すごくうれしかったです！！
本当にどうもありがとうございました！！！！！！！！！！！！！

回答No.1

Ce_faci

こんにちわ
>ＣＨ＝√3-1+2-2+-1+2
２乗してないですよ

ＣＨ^２＝{３－（－１）}^２＋{（－１）－（－２）}^２＝２＾２＋１
でしょう。
ＣＨを求めなくても、あとで三平方を使うのを見越して２乗のままにしておきます。

お礼

返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！
まだ、単純な勘違いや計算ミスを起こしていて、自分でも３次元の世界に入ってから、混乱してばかりです＞＿＜　
返事書いていただいて、どうもありがとうございました！！
今年も宜しくお願いします！！！