漸化式の問題

質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1228697642
の回答にある

>b[n]が等比数列になるための条件は、
>すべてのｎについて（2α＋2）ｎ＋2β－α－1＝0

でなぜ等比数列になるための条件がこのようになるのかがわかりません。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

←No.1「補足」欄

単純に、
b[n+1] = 3b[n] + (2α+2)n + 2β-α-1
が成立することが判っていて、

すべての n について (2α+2)n + 2β-α-1 = 0
が成り立つならば、
b[n+1] = 3b[n] で、b[n] は等比数列。

すべての n について (2α+2)n + 2β-α-1 = 0
は成り立たないのであれば、
b[n+1] = γb[n] となる定数 γ は存在しない
…ってことじゃない？

リンク先の答案は、うまい α, β を持ってくると
a[n]-αn-β が等比数列なる ことに気づいた点が、
根拠ないというか、超絶的だが、結果的に間違ってはいない。

ヤマカンを発揮して解くなら、
-(n+1) = 3(-n) + 2n-1 であることに
なぜか気がついてしまって、
a[n+1] = 3a[n] + 2n-1 との差をとって
a[n+1] + (n+1) = 3(a[n] + n) から
等比数列へ持ち込んでも、いいような気はする。

線型差分方程式の一般論では、この様なやり方をするのが普通。
それを「特解を一個見つければ、方程式が斉次化できる」と言う。
階差をとったからといって、非斉次項が簡単になるとは
限らないのだし。今回は、結果的に階差でもうまくゆくが…

お礼

詳しくありがとうございます。
助かりました。

回答No.2

spring135

解答例はやり方が特殊ですね。一般論に従わないと実戦では危険です。

このような問題は階差をとるのが原則です。

a(n+1)=3a(n)+2n-1

a(n)=3a(n-1)+2(n-1)-1

引き算して

b(n)=a(n+1)-a(n) (1)

とおくと

b(n)=3b(n-1)+2

n→∞ではb(n)=B(n-1)=bとすると

b=-1

bを両辺から引いて

b(n)+1=3(b(n-1)+1)
=3^(n-1)(b(1)+1)

b(1)=a(2)-a(1)=3a(1)+2-1-a(1)=2a(1)+1=3

よって

b(n)+1=3^(n-1)*4

b(n)=4*3^(n-1)-1　　　(2)

(1)より

a(n+1)-a(n)=b(n)
a(n)-a(n-1)=b(n-1)
.....
a(2)-a(1)=b(1)

これらを足して

a(n+1)-a(1)=Σ(i=1,n)b(n) (3)

(2)より

Σ(i=1,n)b(n)=4(3^n-1)/(3-1)-n=2*3^n-n-2

(3)に代入して

a(n+1)-1=2*3^n-n-2

a(n+1)=2*3^n-n-1

a(n)=2*3^(n-1)-n

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.1

ohkinokomushi

回答されている補足の式の最初と最後を見ると

b[n+1]＝3b[n]＋（2α＋2）ｎ＋2β－α－1

となるのでb[n]が等比数列になるためには
右辺の3b[n]以外の項が0になる、という意味だと思います。

補足

回答になっていないような気がしますがこちらの文がわかりにくかったかもしれません。

なぜ0になるときに等比数列がなりたつことがわからないので質問しました。