漸化式

質問

ある参考書に載っていた問題です。
a1=a a2=b an=1/2(an-1+an-2) (n=3,4,5・・・）

この漸化式からanを定めよという問題なのですがan-an-1が初項b-a公比が－1/2となるところまではわかりましたが、その先をどのように導けばよいのかがわかりません。何卒､ご教示のほどお願いいたします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

n≧1でa[n+2]=(1/2)(a[n+1]+a[n]) となりますので
a[n+2]-a[n+1]=(1/2)(a[n+1]+a[n])-a[n+1]
a[n+2]-a[n+1]=(-1/2)(a[n+1]-a[n])
a[n+2]-a[n+1]=(-1/2)^(n)*(a[2]-a[1])
したがってn≧1でa[n+1]-a[n]=(-1/2)^(n-1)*(b-a)
そうすると上式をn=1からn-1まで加えると
a[n]-a[1]=(1-(-1/2)^(n-1))/(1-(-1/2))*(b-a)
a[n]-a[1]=(1-(-1/2)^(n-1))*(2/3)*(b-a)
a[n]=(1-(-1/2)^(n-1))*(2/3)*(b-a)+a

お礼

早速のご回答深謝です。式がa[n+2]=a[n+1]+a[n] の格好になっていなかったので戸惑っていました。基礎に戻って復習していきます。またなにかありましたら宜しくお願いします。

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