ケーリー・ディクソンの構成法による多元数は・・・

質問

ウィキペディア「ケーリー・ディクソンの構成法」には、同構成法による多元数の構成の、最初の数段階に於いては、多元数の代数的性質が一つずつ失われてゆく、と書いてありますが、その先の構成の段階に於いては、代数的性質は全く失われてゆかないのでしょうか。

回答No.3

ta20000005 · ベストアンサー

たとえばx^4=0だがx^2≠0というxしかなかったのが、nが増えたらx^2=0となるx≠0も生じたとか、細かい変化はあります。しかし、それがどこまでなのかは研究待ちでしょう。
勘違いされてるのではないかと思いますが、そもそも交換法則や結合法則も最初からあったわけではなくて、四元数や八元数で成り立たなかったことなどを通じて発見されました。つまり、今後も拡張により今まで成り立っていたものが成り立たない現象が確認された時に○○が失われるのであり、最初からどうこうというものではないのです。

お礼

またまた御丁寧な御回答を、誠に有難う御座いました。

回答No.2

ta20000005

べき零元が無いという性質が良いものと思うならば、べき零元が生じるというのは良い性質が失われると言えるでしょうし、特に注目しないのなら失われると思わないでしょう。
ようするに失われるかどうかは注目するかどうかによって判断が異なります。
千二十四元数ぐらいまでなら性質が書かれたサイトとか見たことがありますが、実際の具体的な2^n元数の研究もそれほど大きなnまでは進んでいないと思われます。永遠に発見や変化か続くかはまだ誰にもわからないでしょう。とりあえず研究されている範囲内では結構変化が見つかっているようです。

お礼

御回答を誠に有難う御座いました。

補足

べき零元の発生以外には、３２元以上の多元数に代数的性質の増減はないでしょうか。

回答No.1

ta20000005

実数
↓(0)
複素数
↓(1)
四元数
↓(2)
八元数
↓(3)
十六元数

(0)
xの共役がxに等しくなくなる

(1)
乗法の交換法則が成立しなくなる

(2)
乗法の結合法則が成立しなくなる

(3)
乗法の交代則が成立しなくなる
組成法則が成立しなくなる
除法が定義できなくなる
零因子が発生する

三十二元数、六十四元数、百二十八元数……以降もたとえば

一般に(x^m)(x^n)と(x^n)(x^m)とx^(m+n)は等しくなくなる

べき零元が発生する

などが知られています。

お礼

誠に有難う御座いました。

補足

結局、仰る事が分かりません。：　　　　　　　　
３２、６４、１２８、・・・　元数では、代数的性質は減ってゆくのでしょうか。
べき零元・・・など・・・と仰る事が、何か関わっていますでしょうか。