ケーリー・ディクソン構成法の続きです。

質問

多元数は、何元まで元の数が増えた時に、ｘ＾２＝０　かつ　ｘ≠０　という事になったのでしょうか。

回答No.1

ta20000005 · ベストアンサー

x^2=0かつx≠0となるxが生じるのは百二十八元数からだそうです。
自分で確かめたのはせいぜい十六元数までで、このあたりは話を聞いただけですけど。

お礼

またまた誠に有難う御座いました。

補足

１．　ケーリー・ディクソンの構成法で、２＾ｎ元数（ｎは自然数）になって失われるか得られるかした代数的性質は、２＾（ｎ＋ｍ）元数（ｎ、ｍは自然数）の全てに於いて、ずっと、失われたまま、または、得られたまま、になっているのでしょうか。
２．今回の質問本文への御回答および、この補足質問への御回答の、典拠をお教え頂けますでしょうか。

回答No.5

ta20000005

交代則とは

(xx)y=x(xy)
および
(xy)y=x(yy)

が任意のxとyについて成り立つという性質です。結合法則の特殊な場合になります。
８元数では結合法則は一般に成立しませんが、交代則は常に成り立ちます。しかし、16元数では一般にどちらも成立しません。

お礼

またまた御丁寧な御回答を誠に有難う御座いました。勉強になりました。

回答No.4

ta20000005

＞組成法則の不成立と零因子の発生が分かりかねます。
「ゼロ因子」は、『ハミルトンと四元数』という本に、８元数に既に現れるかのように書いてありますが・・・？
また、そこの記述では、８元数で既に、「ゼロ因子」の存在ゆえに割り算が出来なくなっているかのように書いてありますが間違いでしょうか。

その本に本当に書いてあるなら、それは間違いです。８元数では交代則が成り立つことが効いて、ゼロ因子は存在できません。割り算は右側からと左側からで異なりますが(これは４元数からです)、どちらから割るかを決めれば、割り算は明確に定まります。それは逆数を掛けたものと一致します。
組成法則も８元数までは成り立ちます。
８元数までの主要な結果は超複素数入門(森北出版)に丁寧な証明があります。

お礼

またまた御回答を誠に有難う御座いました。

補足

今回の追加質問としては、この一つだけをお願い致します。：「交代則」とは「交換法則」ではありませんね？では、如何なる物でしょうか。

回答No.3

ta20000005

＞１．十六元数になって初めて出来する、代数的性質の喪失・獲得は、どの様な物が全てでしょうか。（全てお教え下さい。）

先に書いた

乗法の交代則が成立しなくなる
組成法則が成立しなくなる
除法が定義できなくなる
零因子が発生する

すべてと言われてもとりあえず思いつくことしかあげられませんので。

＞２．べき零元は３２元数で初めて現れるのでしょうか。また、それが現れると、どの様な事態になりますでしょうか。詳しくお教え下さい。（ｘ≠０　かつ　ｘ＾（２＊ｎ）=０　になるとか、でしょうか。）

32元数か64元数かどちらかです。最初に現れるのは
x^2≠0
だが
x^4=0
となるものです。どのような事態になるかは自分では扱ってませんからわかりません。

お礼

またまた懇切ご丁寧な御回答を誠に有難う御座いました。

補足

組成法則の不成立と零因子の発生が分かりかねます。
「ゼロ因子」は、『ハミルトンと四元数』という本に、８元数に既に現れるかのように書いてありますが・・・？
また、そこの記述では、８元数で既に、「ゼロ因子」の存在ゆえに割り算が出来なくなっているかのように書いてありますが間違いでしょうか。

回答No.2

ta20000005

＞１．　ケーリー・ディクソンの構成法で、２＾ｎ元数（ｎは自然数）になって失われるか得られるかした代数的性質は、２＾（ｎ＋ｍ）元数（ｎ、ｍは自然数）の全てに於いて、ずっと、失われたまま、または、得られたまま、になっているのでしょうか。

ずっと、ですね。なぜならば、2^(n-1)元数から作られた2^n元数にはその2^(n-1)元数からの演算を保存した単射があるため、2^(n-1)元数を含むと考えて良いからです。部分で成立しなくなっているのなら全体でも成立しません。

＞２．今回の質問本文への御回答および、この補足質問への御回答の、典拠をお教え頂けますでしょうか。

昔大量に hyper complex number あたりで検索して片っ端から読んだ時に見たサイト情報です。日本語ではまず見あたりませんので、英語サイトがほとんどです。ここに書いたようなことは複数のサイトで確認してます。

お礼

またまた誠に有難う御座いました。大変、勉強になりました。

補足

１．十六元数になって初めて出来する、代数的性質の喪失・獲得は、どの様な物が全てでしょうか。（全てお教え下さい。）

２．べき零元は３２元数で初めて現れるのでしょうか。また、それが現れると、どの様な事態になりますでしょうか。詳しくお教え下さい。（ｘ≠０　かつ　ｘ＾（２＊ｎ）=０　になるとか、でしょうか。）