自然数を５進法で表すには？？

質問

【問】
xは10桁の自然数で、その最高位の数は３である。このxを５進法で表すと何桁となるか。
ただし、log10(2)=0.3010　log10(3)=0.4771とする。

という問題なのですが、自分で考えてみて
3*10^9≦x≦4*10^9
log10(3)+9≦log10(x)≦log10(4)+9
9.4771≦log10(x)≦9.6020　　……(1)

5^(n-1)≦x≦5^n
n-1≦log5(x)≦n
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というとこまで考えたのですが、この先どうすればよいかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

noname#8027 · ベストアンサー

続きをやってみましょう。
9.4771≦log10(x)＜9.6020
9.4771≦log5(x)/log5(10)＜9.6020
9.4771*log5(10)≦log5(x)＜9.6020*log5(10)
ここで、log5(10)=log10(10)/log10(5)=1/{log10(10)-log10(2)}=1/(1-0.3010)=1/0.699 を代入

9.4771/0.699≦log5(x)＜9.6020/0.699
13＜9.4771/0.699≦log5(x)＜9.6020/0.699＜14
13＜log5(x)＜14
よって、１４桁

回答No.7

JaritenCat

3*10^9≦x＜4*10^9
log10(3)+9≦log10(x)＜log10(4)+9
log10(3)+9≦log10(x)＜2*log10(2)+9 ...(1)

5^(n-1)≦x≦5^n
(n-1)*log10(5)≦log10(x)＜n*log10(5) ...(2)

(1)の左と(2)の右から
log10(3)+9≦log10(x)＜n*log10(5)
log10(3)+9＜n*log10(5)
n＞(log10(3)+9)/(log10(5))

log10(5)=log10(10/2)=1-log10(2) なので
n＞(log10(3)+9)/(1-log10(2))　...(3)

(1)の右と(2)の左から
(n-1)*log10(5)≦log10(x)＜2*log10(2)+9
(n-1)*log10(5)＜2*log10(2)+9
n＜(2*log10(2)+9)/(log10(5))+1
n＜(2*log10(2)+9)/(1-log10(2))+1　...(4)

あと(3)と(4)を計算してください。

お礼

みなさま、ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.5

BLUEPIXY

#1です。
>＞５＾（ｎ－１）＝ｘ として
>このｘは問題のｘと関係があるのでしょうか？
なんだか、悲しくなってきました。
元のｘを５進数で表したらってことです。
ｘじたいは単なる数ですから、
５進数で表そうが、１０進数で表そうが同じ数です。

回答No.4

noname#8027

9.4771≦log10(x)≦9.6020　　……(1)
これの真ん中だけ、へんけいしていってみましょう。
ちなみに、不等号に間違いがあり、下記が正しいです。

9.4771≦log10(x)＜9.6020

回答No.3

noname#8027

対数の底の変換公式を理解しましょう。
この公式で、底をａからｃに変更できます。この質問にあてはめると、10→5ですね。

http://www.meix-net.or.jp/~aotsuka/DIC/teinohenkan/d.html

解説は、参考URLが良かったように思います。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/megane/megane3.htm

補足

１０から５に変換するということは、
log10(3)+9≦log10(x)≦log10(4)+9
のlog10(x)の底を５に変換して考えればよいのですか？

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

log5(x)=log10(x)/log10(5)
ここで
log10(5)=log10(10/2)=log10(10)-log10(2)
を使えばなんとかなりませんか？

補足

log5(x)=log10(x)/log10(10)-log10(2)
とするってことですよね？
分母のlog10(10)は１に直してやっていくべきでしょうか？
ところで、ここからどうすればよいのでしょうか・・・？
さっぱり思いつきません。

回答No.1

BLUEPIXY

５＾（ｎ－１）＝ｘ として、
両辺の対数を取ってみると
（ｎ－１）ｌｏｇ(10)５＝ｌｏｇ(10)ｘで
ｌｏｇ(10)５＝ｌｏｇ(10)10/2＝ｌｏｇ(10)１０－ｌｏｇ(10)２
ですよね。
これと、
log10(3)+9≦log10(x)＜log10(4)+9
を考え合わせればいいです。

補足

＞５＾（ｎ－１）＝ｘ として
このｘは問題のｘと関係があるのでしょうか？