四元数、八元数の別の形ってありえますか？

質問

いわゆる超複素数系（特に四元数、八元数）についての質問です。

（通常の）四元数・八元数の定義からすると、３個または７個の
虚数単位を対等・等価に見るため、以下のような性質を満たします。
　・四元数の場合、１,２,３番目の虚数単位をそれぞれi,j,kとおくと、
　　ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jが成立する。

ここで質問なのですが、
たとえノルム保存の性質が崩れてしまうなどの犠牲があるとしても、
以下の条件を満たすような、通常の定義とは異なる四元数・八元数の
定義・体系というのは代数学的に成立しうるものでしょうか。
　・例えば、i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1などの性質は成立しても、
　　ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jなどの性質は持たない四元数体系

質問は以上です。

ちなみに、何故こんな質問をしたかというと、もともとは、
ある演算の目的から、実数部分と１番目の虚数単位部分だけを
特別扱いでき（通常の複素数として扱える）、２番目以降の虚数
単位部分は１番目までとは代数的性質の異なる付属品的なもの
として扱えるようなことはできないか、と考えたためです。

演算の途中結果を２番目以降の虚数単位の係数に入れて保存し、
後の段階で必要なときに取り出せるということができれば、
数値演算はもとより、理論展開・考察をする上でも便利だし
面白いな、と思ったのです。

通常の四元数の定義だと、ij=kなどの性質があるため、j,kの係数に
保存したい値を入れた後に実数と１番目の虚数iだけを使って計算
しても、j,kの値が自動的に変わってしまいます。

以上です。ご教示よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

そもそもハミルトンが四元数を考案したのは「複素数を真に含む系で, 体としての構造を持つ (つまり 0 による除算を除き四則演算が自由にでき, 乗算について可換ではないものの結合的である)」ものをつくる, という動機だったはずです. だから, 「乗算について結合的ではない」(八元数はそうですね) とか「零因子を持つ」(= 除算が定義できないパターンが存在する, 例えば三元数など) とかを許せばいくらでも体系を作ることができます (分配法則を仮定すると, 本質的に異なるパターンはそんなに多くないかもしれませんが)... 「代数的に」の意味はちょっとわかりませんが.
というか, そもそも複素数の体系だって別に「i^2 = -1」としなきゃならないということはありません. とはいえ「可換で結合的かつ分配的」まで限定すると i^2 を決めればすべて決まりますし, i^2 の候補としても本質的には 0, 1, -1 の 3通りしかありません. そして, その中で零因子を持たないのは i^2 = -1 のときだけです.
とどこかの本にあったんだけど, 書名は忘れた.

お礼

なるほど、条件を緩めればいくらでも出来てしまうのですね。
もっと勉強して、考えてみます。
「代数的に」の表現は不適当だったかもしれません。深い意味は全く
ありませんので、忘れてください。
ご教示ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

ああ, 書名がわかりました. といってもそのままずばりで
「超複素数入門 -多元環へのアプローチ-」, I.L. Kantor, A.S. Solodovnikov, 森北出版
です. この辺の話は親切だったような気がします.

お礼

わざわざご丁寧に情報ありがとうございました。
さっそく、本屋で（無ければネットで取り寄せて）読んでみます。