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- muturajcp
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(小行列式の定義) 一般に,(m,n)行列A=(aij)のs個の行およびs個の列を任意に取り出し これらに属する数を並べて得られる行列式 Ds= |a(i1,j1),…,a(i1,js)| |…………………………| |a(is,j1),…,a(is,js)| を行列Aのs次の小行列式という。 (階数の定義) 行列Aにおいて,r次の小行列式の中には0でないものが存在し, (r+1)次の小行列式はすべて0であるとき, 行列Aの階数(rank)はrであるといい rankA=r と表す. (1) Aの(r+1)次の小行列式はすべて0であるとき, (r+1)以上次の小行列式はすべて0となるから, (r+1)以上次の小行列式の中には0でないものが存在しないから 行列Aの階数がrより大きくなることはないから rankA≦r (2) Aのr次の小行列式の中には0でないものが存在するとき, (r-1+1=r)以下次の小行列式がすべて0となることはないから, 行列Aの階数がrより小さくなることはないから rankA≧r 1. A= (2,-1,b) (a,2,-2) (4,-2,c) とすると Aは3次行列で 3+1=4次の小行列式は無くすべて0であるから (1)から rankA≦3 Aの1次小行列式(1行1列目)は2≠0だから (2)から 1≦rankA rankA≦3だから 1≦rankA≦3…(3) (a≠-4)&(c≠2b)のとき 行列Aにおいて,3次の小行列式は|A|だけで |A|=(a+4)(c-2b)≠0で, (2)から rankA≧3 (3)から rankA=3 (a=-4)or(c=2b)のとき 2+1=3次の小行列式は|A|だけですべて |A|=(a+4)(c-2b)=0だから, (1)から rankA≦2…(4) (c=2b)&(a≠-4)のとき Aの2次小行列式 |2,-1|=4+a≠0 |a, 2| があるから, (2)から rankA≧2 (4)から rankA=2 (a=-4)&(b≠1)のとき Aの2次小行列式 |-1,b|=2(1-b)≠0 |2,-2| があるから, (2)から rankA≧2 (4)から rankA=2 (a=-4)&(c≠2)のとき Aの2次小行列式 |2,-2|=2(c-2)≠0 |-2,c| があるから, (2)から rankA≧2 (4)から rankA=2 (a=-4)&(b=1)&(c=2)のとき Aの1+1=2次の小行列式は |a,-2|=|a,2.|=|-1,b|=0 |4.,c|.|4,-2|.|-2,c| |2,b|=|2,-1|=|2.,b|=0 |4,c|.|4,-2|.|a,-2| のようにすべて0だから, (1)から rankA≦1 (3)から rankA=1 ∴ (a≠-4)&(c≠2b)のときrankA=3 (a=-4.or.c=2b)&(a≠-4.or.b≠1.or.c≠2)のときrankA=2 (a=-4)&(b=1)&(c=2)のときrankA=1 2. B= (a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) とすると Bは3次行列で4次の小行列式は無くすべて0であるから (1)から rankB≦3…(5) (a≠b)&(a≠-2b)のとき Bの3次の小行列式は|B|だけで |B|=(a+2b)(a-b)^2≠0で, (2)から rankB≧3 (5)から rankB=3 a=-2bのとき Bの2+1=3次の小行列式は|B|だけですべて |B|=(a+2b)(a-b)^2=0だから, (1)から rankB≦2…(6) a=-2b≠0のとき Bの2次小行列式 |a,b|=a^2-b^2=3b^2≠0 |b,a| だから (2)から rankB≧2 (6)から rankB=2 a=bのとき Bの1+1=2次小行列式は |a,b|=|b,b|=|b,a|=0 |b,a|.|b,a|.|b,b| |a,b|=|b,b|=0 |b,b|.|a,b| のようにすべて0だから (1)から rankB≦1…(7) a≠0のとき Bの1次小行列式(1行1列目)はa≠0だから (2)から 1≦rankB…(8) a=b≠0のとき a=bから(7)rankB≦1 a≠0から(8)1≦rankB (7),(8)から rankB=1 a=b=0のとき Bのすべての 0+1=1次小行列式 a=b=0 だから (1)から rankB=0 a≠b&a≠-2bのときrankB=3 a=-2b≠0のときrankB=2 a=b≠0のときrankB=1 a=b=0のときrankB=0
