行列について。（階数、平面の図形）

質問

行列について。（階数、平面の図形）

1,-1,1
2,1,-4
1,2,a
というＡの行列があるとする。aは実数である。
１）行列の階数を求めよ。
２）三つの平面があるとする。
x-y+z=0
2x+y-4z=0
x+2y+az=0
の交点全体はどのような図形になるか？

という問題でしたが、困りました。行列の階数は何ですか？求め方もイマイチわからないんです。rankA=1は３つのベクトルが同じである時のaの値で、rankA=2は
２が同じの時、rankA=3は３つとも異なる時のaの値ですか？丁寧に教えて欲しいですが、
２）に関してはlAlはゼロですから、１次独立ではないので、交点なしで、平行ですか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

（１）
そこまで知っているなら…
(1,2,1) と (-1,1,2) が平行でないから、rank A は 2 以上であり、
rank A = 2 であるか rank A = 3 であるかは、
(1,-4,a) が (1,2,1) と (-1,1,2) に一次従属か一次独立かで決まる。
…ことも解るのでは？ あとは、a の値で場合分け。

（２）
|A| が 0 かどうかは、（１）を考え直してもらうとして…
|A| = 0 すなわち rank A < 3 であれば、
一次方程式が「不定の場合」となって、(x,y,z) = (0,0,0) 以外にも解がある。
|A| ≠ 0 であれば、A^-1 が存在するから、解は (x,y,z) = (0,0,0) に限る。

お礼

回答ありがとうございます。階数についてもっとわかるようになりました。
しかか、（２）のほうはまだわかりませんが、結局はどんな図形になりますか？

回答No.2

alice_44

a=-5 なら、一直線。
a≠-5 なら、一点。
ヒント出してるんだから、
考えて欲しいな。