行列の階数

質問

1　ｘ　・　・　・　ｘ
ｘ　１　　　　　　・
・　　　　　　　　・
・　　　　　　　　・
・　　　　　　　　ｘ
ｘ　・　・　・　x　１

（単位行列の0の部分をすべてxに置き換えた行列です）
上のようなｎ次行列の階数を求めたいのですが、どうも場合わけがうまくいきません
どなたかご教授ください

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

質問にあるｎ次行列をM(n)とおきます。M(n)の行列式を計算すると、

det(M(n)) = (1-x)^(n-1)・(1+(n-1)x)

となります。
従って、n≧2 については
x≠1, 1/(1-n) ならば rank(M(n)) = n (フルランク)となります。

次に、x=1/(1-n) の場合、 M(n) は M(n-1) を(n-1)次の小行列として含み、その小行列式は x≠1, 1/(2-n) ならば 0 にならないので、rank(M(n)) = (n-1) となります。

また、x=1 の場合、M(n) は全成分が1の行列になりますから、どの2つの列ベクトル(or 行ベクトル)も一次独立にはなりえません。従ってrank(M(n)) = 1 となります。

また、n=1 の場合は明らかにxによらず、rank(M(1)) = 1となります。

お礼

ありがとうございました！