（３×３）の行列の階数の解き方について

質問

基礎的な行列の階数の問題だと思うのですが、
基礎がわからないので、よろしくお願いいたします。

先ほど、（２×２）の場合のランクの見方について質問いたしましたが、（３×３）の場合がわかりません。

A=（０　－３　ー１）
　　　　 （０　　０　　４）
　　　　 （０　　１　　７）

の場合、行ベクトルで考えてもr（A）=３なのですが、答えは２なんです。
これはどう考えたらよろしいでしょうか？

本当に申し訳ありませんが、回答お願いします！！

回答No.1

noname#35109 · ベストアンサー

そう言えば，むかーし，やった記憶があります。

行列の基本変形

A=（０　－３　ー１）
　 （０　　０　　４）
　 （０　　１　　７）

３行目から，２行目の7/4倍を引く。
また，１行目に，２行目の1/4を足す。

(０　-3　 ０)
(０　 ０　 ４)　
(０　 １　 ０)

１行目に，３行目の３倍を足す。

(０　 ０　 ０)
(０　 ０　 ４)
(０　 １　 ０)

行を入れ替える

(０　 ０　 ４)
(０　 １　 ０)
(０　 ０　 ０)

列を入れ替える

(４　 ０　 ０)
(０　 １　 ０)
(０　 ０　 ０)

よって，rankr（A）=２

こんなのではなかったかしら…？？？

というか，rankって結局，複数のベクトルで何次元を表すかということですよ。
(ｘ，ｙ，ｚ)という３次元空間を図示すればわかります。

A＝
（０　－３　-１） とは，原点からｙ軸方向に-3，z軸方向に-1行くベクトル。
（０　　０　　４） とは，原点からｚ軸方向に４行くベクトル。
（０　　１　　７） とは，原点からｙ軸方向に1，z軸方向に７行くベクトル。

この３本は，ｘ軸方向に１本も伸びていない。
３本とも，ｙｚ平面上にしかない。
つまり，３本あっても，２次元平面しかあらわせない。
それだから，rankr（A）=２　なのですよ。
行列の基本変形せずともわかる問題です。たぶん。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0

お礼

丁寧に回答いただきまして、本当にありがとうございました。本当に順序というか、道筋がわからないので、本当に困っていたところです。インターネットをいくら探しても、本をいくら読んでもわからなかったんです。本当にありがとうございました。

回答No.2

masa072

掃きだし法です。